小学奥数23倍数问题

2.5.2倍数、公倍数、最小公倍数

2.5.2.1相关概念

如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，…，an的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，an]表示，例如[6，9，15]=90。

一般地，从1到n（n为正整数），前n个正整数中，a（a≤n，1到n中的正整数）的倍数的个数为

n100，如1-100中2的倍数有=50（个）。 a22.5.2.2最小公倍数的性质

（1）两个数的任意一个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数。

例如，[4，6]=12，则4与6的其他任何一个公倍数24、36、48??，就都是最小公倍数12的的倍数。

（2）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。这就是（a，b）·[a，b]=a·b。

例如，（24，32）×[24，32]= 8×96=768；而24×32=768，∴（24，32）×[24，32]=24×32

2.5.2.3求最小公倍数

（1）分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。

例如，求120、330和525的最小公倍数。

∵120=23×3×5，330=2×3×5×11，525=3×52×7；∴[120，330，525]=23×3×52×7×11=46200

（2）叉乘法求最小公倍数

例如，求24和36的最小公倍数。如图4.9：

24和36的最小公倍数是24×3=72，或36×2=72。这样做的道理很简单。因为

所以，用24乘以36独有的质因数3，或者用36乘以24独有的质因数2，都能得到24与36的最小公倍数72。今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“×”，把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们的最小公倍数。

又如，求20、12和18三个数的最小公倍数。如图4.10：

∵20和12的最小公倍数是20×3=60，60和18的最小公倍数是60×3=180，∴20、12和18三个数的最小公倍数便是180。

如果先求20和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与12去求三个数的最小公倍数；或者先求12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与20去求三个数的最小公倍数，也是可以的。

（3）先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即 a·b=（a，b）·[a，b]。所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。即[a,b]?例如，求[42，105]。

ab (a,b)

若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，??，如此依次做下去，直到最后一个数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。

例如，求[300，540，160，720]

∴[300，540，160，720]=21600

2.5.2.4分数最小公倍数求法

（1）先将各个分数中的带分数化成假分数； （2）再求出各个分数分子的最小公倍数a； （3）然后求出各个分数分母的最大公约数b；

（4）a作分子，b作分母，

a即为所求。 b2和6 例如，求5、56582的最小公倍数。 9352156、和； 再求出三个分子的最小公倍数，得689840840；然后求出三个分母的最大公约数，得1； 以1为分母，以840为分子，得，即

15525522和6三个分数的最小公倍数。即[5，2，6]?840。 840。840就是5、689689 先将各分数分别化成假分数，得

2..5.3典型例题

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。

例2现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。

例3在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？

分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）

小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。

所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。

例4爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。

[6，5，4，3，2]=60，

爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在

小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）， 爷爷的年龄=10×7=70（岁）。

例5 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”

改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。 30=1×30=2×15=3×10=5×6，

由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是

7×5=35和7×6=42。

例6 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。

分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。

因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”

当a=60时，b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷60=24； 当a=120时，b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷120=12。 所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。

例7 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳6秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔3它掉进陷井时另一个跳了多远？

23米，黄鼠狼每次跳6米，它们每9101设有一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？2