高中数学人教版必修4教案 第三章 三角恒等交换 3.1.1两角差的余弦公式

3. 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

3.1.1 两角差的余弦公式

三维目标

1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.

2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法. 重点难点

教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 教学过程 1、提出问题

①请学生猜想cos(α-β)=? ②利用向量的知识,如何推导发现cos(α-β)=? 如图2,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则OA= ,OB= ,∠AOB=.

由此可知,对于任意角α、β都有

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C(α-β))

③细心观察C(α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？

填空,cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________

1

④如何正用、逆用、灵活运用C(α-β)公式进行求值计算？ .如①cos75°cos45°+sin75°sin45°=？

②cosα =cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.是否成立

2、应用示例

例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.

变式训练

1. 利用差角余弦公式求sin75°,sin15°的值.

2. 利用差角余弦公式求:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.的值

例2 已知sinα=

4?5,α∈(,π),cosβ=?,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 5213

2

变式训练 已知sinα=

45,α∈(0,π),cosβ=?,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 513

例3 已知cosα=

111?,cos(α+β)=?,且α、β∈(0, ),求cosβ的值. 7142

变式训练

课本习题3.1 A组4、5.题

3

课堂练习

课后练习1、2、3、4、题

课堂小结

1、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.

2.、本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的. 作业布置

课本习题3.1 A组2、3、4、5.题

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