中考数学二次函数压轴题题型归纳

3、如图，在平面直角坐标系

xOy 中，抛物线 y

2

x2 2x 与 x 轴负半轴交于点 A ，顶点为 B ，

m

且对称轴与 x 轴交于点 C 。

（ 1）求点 B 的坐标（用含 m 的代数式表示）；

（ 2） D 为 OB 中点，直线 AD 交 y 轴于 E ，若 E （ 0，2），求抛物线的解析式；

（ 3）在（ 2）的条件下，点 M 在直线 OB 上，且使得

AMC 的周长最小， P 在抛物线上， Q 在直

P 的坐标。

线 BC 上，若以 A、M 、 P、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点

4、已知关于 x 的方程 (1 m) x2

(4 m) x 3 0 。

（1） 若方程有两个不相等的实数根，求 （ 2） 若正整数 m 满足 8 2m

m的取值范围；

y (1

2 ，设二次函数

m) x2 (4 m) x 3 的图象与 x 轴交于

A、 B 两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿

个新的图象；请你结合这个新的图象回答： 求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的

x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一

当直线 y kx 3 与此图象恰好有三个公共点时， k 值即可）。

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2

5 如图，抛物线 y=ax +2ax+c （ a≠0）与 y 轴交于点 C（ 0， 4），与 x 轴交于点 A （﹣ 4， 0）和 B ．（ 1）求该抛物线的解析式；

（ 2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 连接 CQ．当 △CEQ 的面积最大时，求点

Q 作 QE∥ AC ，交 BC 于点 E，

Q 的坐标；

P，与直线 AC 交于点 F，

（ 3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点

点 D 的坐标为（﹣ 2，0）．问是否有直线 l ，使 △ ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说 明理由．

三、中考二次函数代数型综合题 题型一、抛物线与 例 1．已知二次函数

x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧

y＝x ＋ ( m－ 1) x＋ m－ 2 的图象与 x 轴相交于 A（ x1， 0）， B（ x2， 0）两点，且

2

x1＜ x2．

（ 1）若 x1x2＜ 0，且 m为正整数，求该二次函数的表达式； （ 2）若 x1＜ 1，x2＞ 1，求 m的取值范围；

m的（ 3）是否存在实数 m，使得过 A、 B 两点的圆与 y 轴相切于点 C（ 0， 2），若存在，求出 若不存在，请说明理由；

1

值； 1

MD

M、N两点，且 DN

＝

（ 4）若过点 D（ 0， 2 ）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于 线的表达式．

3 ，求该直

题型二、 抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题

2例 2 已知二次函数 y= x +mx+m-5 ，

（ 1）求证：不论 m取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；

（ 2）求当 m取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短．

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题型三、抛物线方程的整数解问题

例 1． 已知抛物线

y x2 2(m 1)x m2 0 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，

且 m＜ 5，则

整数 m的值为 _____________

例 2．已知二次函数 y＝x 2－2mx＋ 4m－8．

（ 1）当 x≤ 2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；

（ 2）以抛物线 y＝ x2 －2mx＋4m－8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正

AMN （ M，N 两点

在拋物线上），请问：△ AMN的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；

y

（ 3）若抛物线 y＝ x 2－2mx＋ 4m－8 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数．． m 的值．

O

x

A

题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合

例 1．已知抛物线 y x 2 bx c （其中 b>0， c≠0）与 y 轴的交点为

A，点 A 关于抛物线对称轴的

对称点为 B(m,n)，且 AB=2. (1) 求 m,b 的值

(2) 如果抛物线的顶点位于

x 轴的下方，且

BO= 20 。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：

请画图思考）

题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）

例 1．已知：二次函数

y x2 4x m 的图象与 x 轴交于不同的两点

A（ x1 ，0）、B（ x2 ，0）（ x1

＜ x2 ），其顶点是点 C，对称轴与 x 轴的交于点 D．

（ 1）求实数 m的取值范围；

（ 2）如果（ x1 +1）（ x2 +1） =8，求二次函数的解析式； （ 3）把（ 2）中所得的二次函数的图象沿

y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与

x 轴交于点 A1 、

B1 ，顶点为点 C1，且△ A1 B1C1 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．

综合提升

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1．已知二次函数的图象与 x 轴交于 A， B两点，与 y 轴交于点 C（ 0，4），且 | AB| ＝ 2 3，图象的对称轴为 x＝1．

（1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象都在直线

y＝ x＋ m的下方，求 m的取值范围．

2

2．已知二次函数 y＝ －x ＋ mx－ m＋ 2．

（1）若该二次函数图象与

（2）设该二次函数图象与

y 轴的交点为 C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点

x 轴的两个交点 A、 B分别在原点的两侧，并且

AB＝ 5，求 m的值；

M、N，且 S

△ MNC

＝ 27，求

的值．

m

2 2

3. 已知关于 x 的一元二次方程 x －2( k＋ 1) x＋ k ＝ 0 有两个整数根， k＜ 5 且 k 为整数．

（1）求 k 的值；

2

2

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 轴向左平移 （3）根据直线

x 的二次函数 y＝ x － 2( k＋ 1) x＋ k 的图象沿 x

4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；

＋ 与（ 2）中的两个函数图象交点的总个数，求

的取值范围．

y＝ x b b

4．已知二次函数的图象经过点（ 1， 0）和点

A

（1）若 m为定值，求此二次函数的解析式；

（2）若二次函数的图象与 x 轴还有异于点 A 的另一个交点，求 m的取值范围； （3）若二次函数的图象截直线

B

（2， 1），且与

y

轴交点的纵坐标为

m

．

y＝ － x＋ 1 所得线段的长为 2 2，求 m的值．

四、中考二次函数定值问题

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