培优讲义7：几何动点问题

几何动点问题专题(一)

第一部分：三角形中的动点问题

例1.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是______。

例2.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=24cm，AC=16cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过______秒，△APQ的面积是△ABC面积的一半？

练习1：如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动；动点Q从点C出发，沿线段CB向点B运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，运动时间为t秒，求： （1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半； （2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？

练习2：出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜4），四边形MNQP的面积为Scm2．当点P、Q在运动的过程中，t为何值时，△PCQ是直角三角形？

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练习3：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒． 求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？

（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

第二部分：四边形中的动点问题

例1：已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点．若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y=1时，x的值等于_____． 3

例2、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动. 已知点E沿射线CB运动，点F沿边BA的延长线运动，连结DF、DE、EF，EF与对角线AC所在的直线交于点M，DE交AC于点N．

⑴求证：DE⊥DF；

⑵设CE=x，?AMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

⑶随着点E在射线CB上运动，NA〃MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA〃MC的值；若变化，请说明理由．

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例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点B作射线BB1∥AC。动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动。过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．当线段A′C′与射线BB1，有公共点时，求t的取值范围。

练习：如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是菱形；

（2）如图2，若E1，E2分别从E出发以1cm/s的速度沿射线EA，EB方向运动，同时G1，G2从G出发以同样的速度分别沿射线GC，GD方向运动，E1F与E2H交于点M，

G1H与

G2F交于点N．设运动的时间为t（s），求四边形E1FG2H与

四边形E2HG1F覆盖平面的总面积y与运动时间t之间的函数关系式； （3）当t为何值时，四边形HMFN为正方形．

AEBAE1E2BMHFHND FGCD

G2G1C 3

课后作业：

1.如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒． （1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC； （3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

2.如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10）、（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间（t秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； （2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

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