微积分（曹定华）（修订版）课后题答案第二章习题详解

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若limxn=a,则对任何自然数k，有limxn+k=a.

n??n??证：由limxn?a，知???0，?N1，当n?N1时，有

n??xn?a??

取N?N1?k，有???0，?N，设n?N时（此时n?k?N1）有

xn?k?a??

由数列极限的定义得 limxn?k?a.

x??2. 试利用不等式A?B?A?B说明：若limxn=a,则lim∣xn∣=|a|.考察数列

n??n??xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.

证：

?limxn?ax??

????0,?N,使当n?N时，有xn?a??.而 xn?a?xn?a 于是???0，?N,使当n?N时，有

xn?a?xn?a?? 即 xn?a??

由数列极限的定义得 limxn?a

n??考察数列 xn?(?1)，知limxn不存在，而xn?1，limxn?1，

n??nn??所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

n11?2?1???(1) lim?2?=0； (2) lim=0. 22?n??n??n!n(n?1)(2n)??证：（1）因为

1n21n2?2n1n?21(n?1)???2?2(2n)1n?1n?n??22nn

2n而且 limn???0，limn???0，

所以由夹逼定理，得

1

?111?lim?2?????0. 22?n??(n?1)(2n)??n（2）因为0?2n21?22?23???2n?1?2n?4n，而且lim4n!?n?0n??，

所以，由夹逼定理得

lim2nn??n!?0

4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x1n=

en?1，n=1,2,…；

(2) x1=2,xn+1＝2xn,n=1,2,…. 证：（1）略。 （2）因为x1?2?2，不妨设xk?2，则

xk?1?2xk?2?2?2

故有对于任意正整数n，有xn?2，即数列?xn?有上界， 又 xn?1?xn?xn(2?xn)，而xn?0,xn?2，

所以 xn?1?xn?0 即 xn?1?xn， 即数列是单调递增数列。

综上所述，数列?xn?是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※

. 证明：limx?xf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

0证：先证充分性：即证若limf(x)?limf(x)?a，则limf(x)?a.

x?x?0x?x?0x?x0由lim?f(x)?a及limf(x)?a知：

x?x0x?x?0 ???0,??1?0,当0?x0?x??1时，有f(x)?a??，

??2?0当0?x?x0??2时，有f(x)?a??。

取??min??1,?2?，则当0?x0?x??或0?x?x0??时，有f(x)?a??， 而0?x0?x??或0?x?x0??就是0?x?x0??，

2

于是???0,???0，当0?x?x0??时，有f(x)?a??， 所以 limf(x)?a.

x?x0 再证必要性：即若limf(x)?a，则limf(x)?limf(x)?a,

x?x0x?x0?x?x0?由limf(x)?a知，???0,???0，当0?x?x0??时，有f(x)?a??，

x?x0由0?x?x0??就是 0?x0?x??或0?x?x0??，于是???0,???0，当

0?x0?x??或0?x?x0??时，有f(x)?a??.

所以 limf(x)?limf(x)?a

x?x0?x?x0? 综上所述，limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

x?x012. (1) 利用极限的几何意义确定lim (x+a),和limex；

x?0x?0?2

?1?x(2) 设f(x)= ?e, x?0,，问常数a为何值时，limf(x)存在.

x?02?x?a,x?0,?2解：（1）因为x无限接近于0时，x?a的值无限接近于a，故lim(x?a)?a.

2x?011?当x从小于0的方向无限接近于0时，ex的值无限接近于0，故limex?0.

x?0 （2）若limf(x)存在，则limf(x)?limf(x)，

x?0x?0?x?0?由（1）知 limf(x)?lim(x?a)?lim(x?a)?a，

x?0?22x?0?x?01? limf(x)?limex?0

x?0?x?0?所以，当a?0时，limf(x)存在。

x?03. 利用极限的几何意义说明limsinx不存在.

x???解：因为当x???时，sinx的值在-1与1之间来回振摆动，即sinx不无限接近某一定直线y?A，亦即y?f(x)不以直线y?A为渐近线，所以limsinx不存在。

x???

习题2-3

1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当x?0时，tanx,sinx都是无穷小量，但由

sinxtanx?cosx（当x?0时，

3

cosx?1）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x??时，2x与x都是无穷大量，但小量。

2xx?2不是无穷大量，也不是无穷

例3：当x?0时，tanx是无穷小量，而cotx是无穷大量，但tanx?cotx?1不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：

(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6) y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但limxsinx≠∞；

x???(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材§2.3定理3；

cotx为无穷大量， （3）错误，例当x?0时，sinx是有界函数，cotx?sinx?cosx不是无穷大量；

（4）正确，见教材§2.3定理2；

（5）错误，例如当x?0时，与?x11x都是无穷大量，但它们之和

1x?(?1x)?0不

是无穷大量；

（6）正确，因为?M?0，?正整数k，使2kπ+f(2kπ+π2)?(2kπ+π2)sin(2kπ+π2)?2kπ+π2π2?M，从而

?M，即y?xsinx在(??,??)内无界，

又?M?0，无论X多么大，总存在正整数k，使kπ>X，使f(2kπ)?kπsin(kπ)?0?M，即x???时，xsinx不无限增大，即limxsinx??；

x???（7）正确，见教材§2.3定理5；

（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.

(1) f(x)=

3x?412,x→2; (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；

?2(3) f(x)= ex,x→0+，x→0-； (4) f(x)=

-arctanx,x→+∞;

(5) f(x)=

1xsinx,x→∞; (6) f(x)=

1x21?1x2，x→∞.

4