高二下学期期中考试数学(文)试题3(含答案)

1??ⅱ）当???1时,??1,解得?1???0.1??

综上，??0.

????2

20．(1)抛物线y＝2px的焦点为F?，0?，设直线AB的方程为y＝k?x－?(k≠0)．

?2??2?

p???y＝k??x－2?，

??由???y2＝2px，

pp

消去y，得kx－p(k＋2)x＋

222

k2p2

4

＝0.

由根与系数的关系，得x1x2＝(定值)．

4当AB⊥x轴时，x1＝x2＝，x1x2＝，也成立．

24(2)由抛物线的定义，知|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋.

22111

＋＝＋＝|FA||FB|pppx1＋x2＋

2221

p2

pp2

ppx1＋x2＋ppx1＋x2＋x1x2＋

2＝

x1＋x2＋pp2

4

px1＋x2＋

2＝x1＋x2＋px1＋x2＋pp2

2

＝(定值)．

p2

当AB⊥x轴时，|FA|＝|FB|＝p，上式仍成立．

21．解：（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系.若AC?AD?2a?23，即0?a?3，动点A所在的曲线不存在；若AC?AD?2a?23，即a?3，动点A所在的曲线方程为

x2y2?1.……4y?0(?3?x?3)；若AC?AD?2a?23，即a?3，动点A所在的曲线方程为2?2aa?3分

x2x22?y?1.由条件知A,B两点均在椭圆?y2?1上，且OA?OB (2)当a?2时，其曲线方程为椭圆44设A(x1,y1)，B(x2,y2)， OA的斜率为k(k?0)，则OA的方程为y?kx，OB的方程为y??x解方程

1k?y?kx4k24?222组?x，得x1?，y1? 2221?4k1?4k?y?1??44k2422同理可求得x2?2，y2 ?2k?4k?4

11(1?k2)221?kx11?2x2=2?AOB面积S? 2k(1?4k2)(k2?4)令1?k2?t(t?1)则

t21S?2?2 994t2?9t?9?2??4tt991125254令g(t)??2??4??9(?)2?(t?1)所以4?g(t)?，即?S?1

ttt24454当k?0时，可求得S?1,故?S?1，

54故S的最小值为，最大值为1.

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附加题：

22．（1）D （2）②③

23．解： (1)令x1＝1，x2＝0，则x1＋x2＝1∈[0,1]． 由③，得f(1)≥f(0)＋f(1)，即f(0)≤0. 又由①，得f(0)≥0，所以f(0)＝0. (2)g(x)＝2－1是友谊函数．

任取x1，x2∈[0,1]，x1＋x2∈[0,1]，有2x1≥1,2x2≥1. 则(2x1－1)(2x2－1)≥0.

即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)．又g(1)＝1， 故g(x)在[0,1]上为友谊函数． (3)取0≤x1

若f(x0)>x0，则f[f(x0)]≥f(x0)>x0. 若f(x0)

x

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