上海交通大学 2008-2009学年 高等数学（高数） 期末考试 试卷及解答（180学时）

??10?x3dx?(1?12)

(1?x2)2解2 C:x?112?12cost,y?2sint，t:0??，

1sint?cost??x1?y3dx??1Crr3dy2??20(313dt

2?2cost?sint)2?1?(322?12cost?sint)|?10?(1?)2

15. 计算：??(?2xy?y)dydz?(y2?1)dzdx?(x2?z)dxdy，其中，

?z?2?x2?y2在xoy平面上方部分的上侧。

解1 Gauss公式：

取平面域?:???x2?y2?41，

??z?0?????????

??????1?1?????dxdydz???x2dxdy

??1?123?2?2???x2dxdy?8??1(x2?y2)dxdy

x2?y2?432??x2?y2?4?8203??122??244?3?

解2 合一投影法：

?在xoy平面上投影区域Dxy:x2?y2?4，

n??(x,y,1)，

x2?y2x2?y2?????(?2xy?y,y2?1,x2?z)?(x,y,1)dxdy

?D2xyx2?y2x?y2 J-5

?为曲面

23???(?2xy?xy?y?y?x2?2?x2?y2)dxdy

x2?y2?4x2?y2x2?y2???(x2?2?x2?y2)dxdy

x2?y2?4??2?2220d??0[2?rcos??r]rdr ??2?41?cos2?200[3?42]d??3?

五、（本题8分） 16. 将函数f(x)?2arctanx??xt20edt展开为x的幂级数.

解1

2f'(x)?21?x2?ex

???2?(?1)nx2n??1x2n

n?0n?0n!?f(x)??xf'(t)dt??[1?2(?1)n]110n?0n!2n?1x2n? （?1?x?1解2

f(x)??x2xx201?x2dx??e0dx

x?n2n???02[?(?1)x]dx??x1n?00[?x2n]dx

n?0n!???[1n2n?1 （?1?x?1 ）

n?0n!?2(?1)]12n?1x

六、（本题10分） ?17. 求数项级数?(?1)nn2n?13n的和.

?2?解 ?(?1)nn??n2(?1nn?13nn?13)，

???S(x)??n2xn?x[?nxn]??x[x(?xn)?]?

n?1n?1n?1 J-6

）

?x[x(x1?x)?]??x(1?x)(1?x)3，?1?x?1

??(?1)n?1nn32n?S(?13)??332

七、（本题8分） 18. 设

f(x)在

x?0的邻域内具有二阶连续导数，且

limf(x)?0,f''(x)?m?0x?0x。

?（1）证明：级数?(?1)n?1f(1)收敛.

n?1n（2）设a，b为任意常数，试讨论级数：

af(1)?bf(1)?af(1)?bf(1)???af(1)?bf(1)??12342n?12n

的敛散性。 解 （1） 由limf(x)(x?)m?得：0

x?0x?0得：

f(0)?f?(0?)，再由

f'' 当x?0时，f(x)?0，f(x)是单调增函数，且limfx(?)，

0 x?0?故

f(1)单调减且趋于

0，所以n?(?1)n?1f(1)收敛 。

n?1n?（2）当a?b时，级数?a?(?1)n?1f(1)，收敛。

n?1n当a?b时，

S2n?af(1)?bf(1)?af(1)?bf(1)???af(1)?bf(1)12342n?12n

?a[f(1)?f(1)???f(1)?f(1)]122n?12n

?(a?b)[f(1)?f(1)???f(1)]242n

?a?2n?(a?b)?n

J-7

f(limn??12n1n)?limx?0?f(x)2x2?f''(0)4S2n?m4?0, lim?n不存在，

n??由（1）知lim?2n存在，limn??不存在，级数发散。

n?? J-8