上海交通大学 2008-2009学年 高等数学（高数） 期末考试 试卷及解答（180学时）

2008级《高等数学》第二学期期末考试解答（180 A卷）

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设u(x,y)?（A）

?u?x2(x?y)?x?y???u?y222x?yx?y?(t)dt，其中：??u?x22(t)具有一阶导数，则（

2 ）

22?； （B）

???u?y22；

（C）解

?u?x2??u?x?y2； （D）

(x?y?)??u?y22??u?x?y.

) ，

ux?2(x?y)?1??(x?，yuxx?2???(x?y?)??x(?yuy?2(x?y)?1??(x?y?)?(x?，yuyy?2???(x?y?)??x(?y) ，

答案：A 2. 函数z?xy(3?x?y)的极值点是

（ ）

（A）(0,0)； （B）(1,1)； （C）(3,0)； （D）(0,3). 解1

zx?3y?2xy?y2，zy?3x?2xy?x2，A、B、C、D都是驻点，

zxx??2y，zxy?3?2x?2y，zyy??2x2，

AC?B2?4xy?(3?2x?2y)?0，仅当(1,1)满足

答案：B

解2

x,y对称，C对，D也对，单选题，故排除C，D，

，(x,y)?(0,0)，z?3xyz?xy(3?x?y)?3xy可正可负，不是极值点，

答案：B 3. 设有空间区域?1

?2:x2:x?y?z?R,2222?R,z?02与

（ ）

；

?y2?z2x?0,y?0,z，?0则

（A）????1xdV?4???xdV?2； （B）????1ydV?4???ydV?2 （C）???zdV?1?4???zdV?2； （D）????1xyzdV?4???xyzdV?2.

解 答案：C

J-1

4. 一个形如?bnsinnx的级数，其和函数S(x)在(0,?)上的表达式为

n?1?12(??x)，

则S(x)在x?3?处的值S(3?)= （ ）

22（A）

?； （B）??44； （C）

?2； （D）??2.

解 S(3?)?S(3??)?S(???1122?22)??S(2)??2(??12?)??4?

答案：B ?5. 若级数?(?1)na的取值范围是 （ n?2na?(?1)n收敛，则（A）a?0； （B）a?1； （C）a?132； （D）a?1.

?(?1)n??(?1)n[na?(?1)n]?解 ?(?1n)na?n?2na?(?1)n?n?2[na?(?1)n][na?(?1)n?]?n?2n2a?1

1?(?1)nna?a???(?1)nn?0时收敛，

n?2n2a?1n?2n2a，a?1???12a?1，即a?1n?2n2a，?12时收敛，

答案：C

二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 设D?{(x,y)|x|?|y|?1}，则二重积分??(x?|y|)dxdy?__________

D解 ??(x?|y|d)xdy???4ydxdy

DD1?4?11?y10dy?0ydx?4?y(1?y)dy?203

7.

向量场????A?(x2?2y)i?(y2?2z)j?(z2?2x)k，则rotA??__________.

ijk解

ro?tA?????x?y?z?(2,2, 2x2?2yy2?2z2z?2x J-2

）8. 曲面z解

?x?y在点(1,9,4)处的切平面方程是：________________.

12x,?21y,1)，

?n?(?zx,?zy,1)?(?11?n|(1,9,4)?(?,?,1)，或(3,1,?6)，

26切平面：3(x?1)?(y?9)?6(z?4)?

9. 设C为球面x2解 ?C20，或 3x?y?6z?12? 0?y?z22?a2与平面x?2y?z?0的交线，则?Cxds2=____

x2ds?13?(Cx?2y?2)z1d?s32?aC1?ds32?2?a23??a3

10. 级数?n?1?x2nn的收敛域为 ：___________

解

|x2n2n|?|1?0,x1?n|x|?1n[?1,1 ]|???,x|?|，收敛域为：12?2????,|x|?1三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分, 共14分） 11. 设zdz?z(x,y)由方程F(2x?3z,2y?z)?0所确定，其中：F是可微函数，求

.

?zxdx?zydy2F1?3F1?F2解1 dz

dx??2F2?3F1?F2dy?2F1dx?2F2dy3F1?F2??

解2 F1?(2dx?3dz)?dz?F2?(2dy?dz)?0

2F1dx?2F2dy3F1?F2

1xxx112dx?112. 求二重积分：?2142edy??ydx?xxedyy.

J-3

x解 I??112dy?yy2edxy

3e8121??112y(e?e)dy?y?e2

四、计算下列各题（每小题10分，共30分） 13. 设曲面?为柱面x2分析： 求柱面x21.用公式： I?z22?1介于平面y?0和x?y?2之间部分，求???zdS.

?z?1部分的面积

22???z1?zx?zydxdyDxy， 用S:z??1?x2求导，?

2.用公式： I???z1?xy?xzdydzDyz22， 用S:x??1?z2求导，

3.不能用公式： I???z1?yx?yzdxdzDxz22，用？？？求导

解 ?1:z?1?x,?2:z??1?x22，

z Dxy?{(x,y)0?y?2?x,?1?x?1}??zdS???zdS???zdS

??1?2222 1?xdSy ????11?xdS?????2

2 x x1?x2?0 [1?yrx21?zx?zy22?1?(?)2?11?x2]

14. 计算：?C?xr?3dx?3dy，其中C为上半圆周

2y?x?x2，方向从?1,0?到

?0,0?，r解1

?P?y????1?y?. ＝

?Q?x??32?[x232?[x22x(1?y)52x(1?y)5，

??1?y?2]2??1?y?]22?C?xr3dx?1?yr3dy??(1,0)(0,0)?xr3dx?1?yr3dy

J-4