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上海交通大学 2008-2009学年 高等数学(高数) 期末考试 试卷及解答(180学时)

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2008级《高等数学》第二学期期末考试解答(180 A卷)

一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设u(x,y)?(A)

?u?x2(x?y)?x?y???u?y222x?yx?y?(t)dt,其中:??u?x22(t)具有一阶导数,则(

2 )

22?; (B)

???u?y22;

(C)解

?u?x2??u?x?y2; (D)

(x?y?)??u?y22??u?x?y.

) ,

ux?2(x?y)?1??(x?,yuxx?2???(x?y?)??x(?yuy?2(x?y)?1??(x?y?)?(x?,yuyy?2???(x?y?)??x(?y) ,

答案:A 2. 函数z?xy(3?x?y)的极值点是

( )

(A)(0,0); (B)(1,1); (C)(3,0); (D)(0,3). 解1

zx?3y?2xy?y2,zy?3x?2xy?x2,A、B、C、D都是驻点,

zxx??2y,zxy?3?2x?2y,zyy??2x2,

AC?B2?4xy?(3?2x?2y)?0,仅当(1,1)满足

答案:B

解2

x,y对称,C对,D也对,单选题,故排除C,D,

,(x,y)?(0,0),z?3xyz?xy(3?x?y)?3xy可正可负,不是极值点,

答案:B 3. 设有空间区域?1

?2:x2:x?y?z?R,2222?R,z?02与

( )

?y2?z2x?0,y?0,z,?0则

(A)????1xdV?4???xdV?2; (B)????1ydV?4???ydV?2 (C)???zdV?1?4???zdV?2; (D)????1xyzdV?4???xyzdV?2.

解 答案:C

J-1

4. 一个形如?bnsinnx的级数,其和函数S(x)在(0,?)上的表达式为

n?1?12(??x),

则S(x)在x?3?处的值S(3?)= ( )

22(A)

?; (B)??44; (C)

?2; (D)??2.

解 S(3?)?S(3??)?S(???1122?22)??S(2)??2(??12?)??4?

答案:B ?5. 若级数?(?1)na的取值范围是 ( n?2na?(?1)n收敛,则(A)a?0; (B)a?1; (C)a?132; (D)a?1.

?(?1)n??(?1)n[na?(?1)n]?解 ?(?1n)na?n?2na?(?1)n?n?2[na?(?1)n][na?(?1)n?]?n?2n2a?1

1?(?1)nna?a???(?1)nn?0时收敛,

n?2n2a?1n?2n2a,a?1???12a?1,即a?1n?2n2a,?12时收敛,

答案:C

二、填空题(每小题3分,共15分) 6. 设D?{(x,y)|x|?|y|?1},则二重积分??(x?|y|)dxdy?__________

D解 ??(x?|y|d)xdy???4ydxdy

DD1?4?11?y10dy?0ydx?4?y(1?y)dy?203

7.

向量场????A?(x2?2y)i?(y2?2z)j?(z2?2x)k,则rotA??__________.

ijk解

ro?tA?????x?y?z?(2,2, 2x2?2yy2?2z2z?2x J-2

)8. 曲面z解

?x?y在点(1,9,4)处的切平面方程是:________________.

12x,?21y,1),

?n?(?zx,?zy,1)?(?11?n|(1,9,4)?(?,?,1),或(3,1,?6),

26切平面:3(x?1)?(y?9)?6(z?4)?

9. 设C为球面x2解 ?C20,或 3x?y?6z?12? 0?y?z22?a2与平面x?2y?z?0的交线,则?Cxds2=____

x2ds?13?(Cx?2y?2)z1d?s32?aC1?ds32?2?a23??a3

10. 级数?n?1?x2nn的收敛域为 :___________

|x2n2n|?|1?0,x1?n|x|?1n[?1,1 ]|???,x|?|,收敛域为:12?2????,|x|?1三、计算下列各题(第1小题6分,第2小题8分, 共14分) 11. 设zdz?z(x,y)由方程F(2x?3z,2y?z)?0所确定,其中:F是可微函数,求

.

?zxdx?zydy2F1?3F1?F2解1 dz

dx??2F2?3F1?F2dy?2F1dx?2F2dy3F1?F2??

解2 F1?(2dx?3dz)?dz?F2?(2dy?dz)?0

2F1dx?2F2dy3F1?F2

1xxx112dx?112. 求二重积分:?2142edy??ydx?xxedyy.

J-3

x解 I??112dy?yy2edxy

3e8121??112y(e?e)dy?y?e2

四、计算下列各题(每小题10分,共30分) 13. 设曲面?为柱面x2分析: 求柱面x21.用公式: I?z22?1介于平面y?0和x?y?2之间部分,求???zdS.

?z?1部分的面积

22???z1?zx?zydxdyDxy, 用S:z??1?x2求导,?

2.用公式: I???z1?xy?xzdydzDyz22, 用S:x??1?z2求导,

3.不能用公式: I???z1?yx?yzdxdzDxz22,用???求导

解 ?1:z?1?x,?2:z??1?x22,

z Dxy?{(x,y)0?y?2?x,?1?x?1}??zdS???zdS???zdS

??1?2222 1?xdSy ????11?xdS?????2

2 x x1?x2?0 [1?yrx21?zx?zy22?1?(?)2?11?x2]

14. 计算:?C?xr?3dx?3dy,其中C为上半圆周

2y?x?x2,方向从?1,0?到

?0,0?,r解1

?P?y????1?y?. =

?Q?x??32?[x232?[x22x(1?y)52x(1?y)5,

??1?y?2]2??1?y?]22?C?xr3dx?1?yr3dy??(1,0)(0,0)?xr3dx?1?yr3dy

J-4

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2008级《高等数学》第二学期期末考试解答(180 A卷) 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设u(x,y)?(A)?u?x2(x?y)?x?y???u?y222x?yx?y?(t)dt,其中:??u?x22(t)具有一阶导数,则( 2 ) 22?; (B)???u?y22; (C)解 ?u?x2??u?x?y2; (D)(x?y?)??u?y22??u?x?y. ) ,ux?2(x?y)?1??(x?,yuxx?2???(x?y?)??x(?yuy?2(x?y)?1??(x?y?)?(x?,yuyy?2???(x?y?)??x(?y) ,答案:A 2. 函数z?xy

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