江苏省常州市武进区高一数学下学期期末试卷(含解析)

∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．

∴，解得．

∴C（4，3）． （2）设B（a，b），则∴B（﹣1，﹣3）． ∴kBC=

=

，解得

．

∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．

点评： 本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题． 18．（16分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元． （1）工厂第几年开始获利？

（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益最大时，以14万元出售该设备；②总收益最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？

考点： 数列与函数的综合；函数模型的选择与应用． 专题： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列．

分析： （1）判断费用是以6为首项，2为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n）．求出通项公式，利用f（n）＞0，列出不等式，求解即可．

（2）方案①：列出年平均收入利用基本不等式求出最值；方案②：利用数列的函数的特征，通过二次函数求解最值即可． 解答： （本题满分16分） 解：（1）由题设，每年费用是以6为首项，2为公差的等差数列， 设第n年时累计的纯收入为f（n）．

2

∴f（n）=25n﹣﹣49=﹣n+20n﹣49，…（3分）

22

获利即为：f（n）＞0∴﹣n+20n﹣49＞0，即n﹣20n+49＜0

?10﹣，又n∈N，∴n=3，4，5，…，17． …6 分 ∴当n=3时，即第3年开始获利；…（7分） （2）方案①：年平均收入出售该设备后，年平均收益为方案②：f（n）=﹣（n﹣10）+51， ∴当n=10时，f（n）max=51，

2

（万元），此时n=7，

（万元）；…11 分

出售该设备后，年平均收益为（万元），…15 分

故第一种方案年平均收益较大． …16 分

点评： 本题考查数列与函数的综合应用，基本不等式求解最值，武承嗣的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．

22

19．（16分）已知圆O：x+y=4，直线l：y=kx﹣4． （1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB=

时，求k的值．

（2）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．

（3）若EF、GH为圆O：x+y=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．

考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 直线与圆．

分析： （1）求出点O到l的距离，然后求解k即可．

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（2）设P（t，t﹣4）．其方程为：x（x﹣t）+y（y﹣t+4）=0，利用C、D在圆O：x+y=4上，求出CD方程，利用直线系求解即可．

（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．通过表达式，然后求解最值． 解答： （本题满分16分） 解：（1）∵∠AOB=∴

=

?2?

，∴点O到l的距离

…4 分

…2 分

，求出面积

2

2

（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t﹣4）． 其方程为：x（x﹣t）+y（y﹣t+4）=0

22

即 x﹣tx+y﹣（t﹣4）y=0，…6 分

22

又C、D在圆O：x+y=4上，

∴lCD：tx+（t﹣4）y﹣4=0即 （x+y）t﹣4y﹣4=0…8 分 由

得

∴直线CD过定点（1，﹣1）…10 分

（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2． 则∴∴

，…12 分

，

，

当且仅当即时，取“=”，…14 分

∴四边形EGFH的面积的最大值为5．…16 分 点评： 本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．

20．（16分）已知数列{an}满足：a1=，a2=，2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N），数列{bn}满足：b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈R），数列{bn}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求证：数列{bn﹣an}为等比数列； （Ⅱ）求证：数列{bn}为递增数列；

（Ⅲ）若当且仅当n=3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围．

考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （Ⅰ）由已知得{an}是等差数列，an+1=

公比的等比数列． （Ⅱ）由

1

?

，bn+1﹣

为首项，以为

=．由此能证明{bn﹣an}是以

．得当n≥2时，bn﹣bn﹣

．由此能证明{bn}是单调递增数列．

=

（Ⅲ）由已知得，由此能求出b1的取值范围．

?

解答： 解：（Ⅰ）∵2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N）， ∴{an}是等差数列． 又∵a1=，a2=， ∴∵

∴bn+1﹣an+1===又∵

=．

，

，

，（n≥2，n∈N），

*

∴{bn﹣an}是以

为首项，以为公比的等比数列．

（Ⅱ）∵bn﹣an=（b1﹣）?（）∴

当n≥2时，bn﹣bn﹣1=

n﹣1

，

．

．

．

又b1＜0，∴bn﹣bn﹣1＞0． ∴{bn}是单调递增数列．

（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，Sn取最小值．

∴，即，

∴b1∈（﹣47，﹣11）．

点评： 本题考查等比数列的证明，考查增数列的证明，考查数列的首项的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．