江苏省常州市武进区高一数学下学期期末试卷(含解析)

又∵EH=EF，∴①÷②得：∴

=．

=，

故答案为：．

点评： 本题考查两条线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质的合理运用．

12．（5分）若关于x的不等式ax﹣|x|+2a＜0的解集为?，则实数a的取值范围为

考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 计算题．

分析： 将不等式进行等价转化为 a＜

=

，解集为空集时，a大于或等于

2

．

的最大值，利用基本不等式

求出 的最大值．

解答： 解：不等式即 a＜=，∵此不等式解集为?，

∴a大于或等于 的最大值．又|x|+≥2，

∴ 的最大值是=，∴a≥，

故答案为：a≥．

点评： 本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想．

222

13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：x+y﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m﹣6m=0，直线l经过点（﹣1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为2x+y+1=0．

考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 直线与圆．

分析： 先将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线m上，半径是定值3，所以直线l∥m，才能满足截得的弦长是定值．

解答： 解：将圆C：x+y﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m﹣6m=0化为标准式得

22

（x﹣（3﹣m））+（y﹣2m）=9 ∴圆心C（3﹣m，2m），半径r=3， 令

，消去m得2x+y﹣6=0，

222

所以圆心在直线2x+y﹣6=0上， 又∵直线l经过点（﹣1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值， ∴直线l与圆心所在直线平行，

∴设l方程为2x+y+C=0，将（﹣1，1）代入得C=1， ∴直线l的方程为2x+y+1=0． 故答案为2x+y+1=0．

点评： 有关直线与圆的位置关系的问题，一般采用几何法，即先求出圆心与半径，然后画出图象，利用点到圆心的距离，半径，弦长等的关系解决问题．

14．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式an+意正整数n都成立，则实数m的最大值为．

考点： 数列的求和．

专题： 等差数列与等比数列． 分析： 令（n﹣1）d=m，由an+到最小值，由此能求出结果． 解答： 解：an+=an+

令（n﹣1）d=m，

22

2

2

2

≥ma1对任意等差数列{an}及任

2

=an+=5（m﹣

22

）+2a1﹣

22

，当m=时，取

=an+

22

an+

2

2

=（a1+2m）+（a1+m）

2

22

=2a1+6ma1+5m =5（m﹣

）+2a1﹣

2

2

，

当m=时，取到最小值

，即n=

，

即（n﹣1）d=

∵不等式an+∴m

．

2

≥ma1对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，

2

∴实数m的最大值为． 故答案为：．

点评： 本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．

二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣（2c﹣b）cosA=0． （1）求角A的大小；

（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．

分析： （1）由正弦定理化简已知等式可得sinC（1﹣2cosA）=0，结合范围0＜C＜π，可得

，又结合0＜A＜π，即可求得A的值．

2

2

（2）由已知及余弦定理4=b+c﹣bc≥bc，可得bc≤4，当且仅当b=c=4时，取“=”，由三角形面积公式即可得解．

解答： （本小题满分14分） 解：（1）因为acosB﹣（2c﹣b）cosA=0，

由正弦定理得：sinAcosB﹣（2sinC﹣sinB）cosA=0， 所以可得：sinC（1﹣2cosA）=0．…（2分） 因为0＜C＜π，所以sinC＞0，…（4分） 所以

，又0＜A＜π，所以

2

2

2

．…（7分）

（2）由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA，

22

所以4=b+c﹣bc≥bc，所以bc≤4，

当且仅当b=c=4时，上式取“=”，…（10分） 所以△ABC面积为

，

所以△ABC面积的最大值为．…（14分）

点评： 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查． 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点． （1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 证明题；空间位置关系与距离．

分析： （1）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，证明EFGH为平行四边形，可得EF∥GH，进而可得线面平行；

（2）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可． 解答： 证明：（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE， ∵G为AD中点，F为BD中点， ∴GF∥AB且EF=同理EH∥CD且EF=

， ，

∵ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB=CD， ∴GF∥EH，GF=EH，

∴EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，

又∵GH?面PAD，EF?面PAD，∴EF∥面PAD． （2）∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD， 又∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD， ∴CD⊥面PAD

又∵CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD．

点评： 本题考查线面平行、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 17．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求： （1）顶点C的坐标； （2）直线BC的方程．

考点： 直线的一般式方程． 专题： 直线与圆．

分析： （1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；

（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出． 解答： 解：（1）设C（m，n），