2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：选修4-4 第1讲 坐标系 Word版含答案

20

由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2＝2，

sinα

根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝3π. 4

π

又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝. 4

??x＝2＋2cos α，

6．(2020·江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?

?y＝2sin α?

20π

2＝40，得α＝或α＝sinα4

(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

π

(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且∠AOB＝，求△OAB面积的最大值．

3解：(1)消去参数α，得到曲线C的普通方程为 (x－2)2＋y2＝4，

故曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

πππ

(2)在极坐标系中，不妨设A(ρ1，θ0)，B(ρ2，θ0＋)，其中ρ1>0，ρ2>0，－<θ0<，由(1)

322π

知，ρ1＝4cos θ0，ρ2＝4cos(θ0＋)．

3

1ππ

△OAB面积S＝ρ1ρ2sin ＝43cos θ0cos(θ0＋)，

233

π

2θ0＋?＋3， S＝23cos2θ0－6sin θ0cos θ0＝3(1＋cos 2θ0)－3sin 2θ0＝23cos?3??πππ

2θ0＋?有最大值1.此时Smax＝33. 当2θ0＋＝0时，即θ0＝－时，cos?3??36故△OAB面积的最大值为33.

[综合题组练]

1．(2020·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为

??x＝1＋cos φ

?(φ为参数)， ?y＝1＋sin φ?

过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求l和M的极坐标方程；

π

0，?时，求|OA|＋|OB|的取值范围． (2)当α∈??4?

解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)． 曲线M的普通方程为(x－1)＋(y－1)2＝1， 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，

所以M的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0. (2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0， 得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0， π

0，?时，Δ＝4sin 2α>0， 当α∈??4?所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，

根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径． π

α＋?. 从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝22sin??4?ππππ

0，?时，α＋∈?，?， 当α∈??4?4?42?故|OA|＋|OB|的取值范围是(2，22]．

2．在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.

(1)求曲线C2的极坐标方程；

π

θ＋?＝2距离的最大值． (2)求曲线C2上的点到直线ρcos??4?解：(1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)， 4

由|OP|·|OM|＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.

ρ1因为M是C1上任意一点，所以ρ2sin θ＝2， 4

即sin θ＝2，ρ1＝2sin θ. ρ1

所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 即x2＋y2－2y＝0，

化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，

则曲线C2的圆心坐标为(0，1)，半径为1， π

θ＋?＝2， 由直线ρcos??4?2

ππ

得ρcos θcos －ρsin θsin ＝2，

44即x－y＝2，

圆心(0，1)到直线x－y＝2的距离为 |0－1－2|32

d＝＝，

22

π32

θ＋?＝2距离的最大值为1＋所以曲线C2上的点到直线ρcos?. ?4?2