2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：选修4-4 第1讲 坐标系 Word版含答案

??x＝3cos t，

1．(2020·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?

?y＝sin t?

π

(t为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝

6(ρ∈R)．

(1)求曲线C1的极坐标方程；

(2)若曲线C2的极坐标方程为ρ＋8cos θ＝0，直线l与曲线C1在第一象限的交点为A，与曲线C2的交点为B(异于原点)，求|AB|.

解：(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x2＋9y2＝9，故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋8ρ2sin2θ－9＝0.

ππρ1，?，B?ρ2，?. (2)因为A，B两点在直线l上，所以可设A?6?6???

π22把点A的极坐标代入C1的极坐标方程得，ρ21＋8ρ1sin－9＝0，解得ρ1＝±3. 6已知A点在第一象限，所以ρ1＝3.

因为B异于原点，所以把点B的极坐标代入C2的极坐标方程得， π

ρ2＋8cos ＝0，解得ρ2＝－43.

6所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝|3＋43|＝53.

2．(2020·安徽五校联盟第二次质检)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；

π

(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB

4的面积．

解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，所以直线l1的极坐标方程为ρcos θ＝0，π

即θ＝(ρ∈R)，

2

圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0. π

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，

2

π

得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋2.将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin

4θ＋3＋22＝0，

得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0， 解得ρ2＝1＋2.

1π32

故△OAB的面积为×(1＋2)2×sin＝1＋.

244

[基础题组练]

1

x′＝x，

2

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何

1y′＝y

3

???

种曲线，并求曲线的焦点坐标．

解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，

??x＝2x′，x′2y′2

22?则所以4x′＋9y′＝36，即＋＝1.

94?y＝3y′，?

x2y2

所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，

94其焦点坐标为(±5，0)．

11π

2，?为圆心，2为半径的圆． 2．在极坐标系中，圆C是以点C?6??(1)求圆C的极坐标方程；

7π

(2)求圆C被直线l：θ＝(ρ∈R)所截得的弦长．

12

π

解：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，

6πθ＋?. 所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos??6?π5π

θ＋?，得ρ＝22， (2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos??6?127π5π

所以，圆C被直线l：θ＝，即直线θ＝－所截得的弦长为22.

1212

3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲π

0≤θ

(1)求C1与C2的交点的极坐标；

→2→

(2)设点Q在C1上，OQ＝OP，求动点P的极坐标方程．

5

?ρcos θ＝3，?3

解：(1)联立?得cos θ＝±，

2??ρ＝4cos θ，

π

因为0≤θ<，

2π

所以θ＝，ρ＝23，

6π23，?. 所以交点坐标为?6??

π

0，?， (2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，则ρ0＝4cos θ0，θ0∈??2?2??ρ＝ρ，02→→5由OQ＝OP，得?

5

??θ0＝θ，π2

0，?， 所以ρ＝4cos θ，θ∈??2?5

π

0，?. 所以点P的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈??2??x＝6cos φ，

4．(2020·黑龙江哈尔滨三中一模)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：?(φ为

?y＝2sin φ

参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．

?x＝6cos φ，

解：(1)因为C2的参数方程为?(φ为参数)，

?y＝2sin φ

x2y2

所以其普通方程为＋＝1，又C1：x＋3y＝3，

62

π36θ＋?＝，C2：ρ2＝所以可得极坐标方程分别为C1：ρsin?. ?6?21＋2sin2θ(2)易知M(3，0)，N(0，1)，所以P?

31?，

?2，2?π

所以OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，

6ππ3θ＋?＝， 把θ＝代入ρsin??6?26π1，?， 得ρ1＝1，P??6?π6

把θ＝代入ρ2＝，

61＋2sin2θπ

2，?， 得ρ2＝2，Q??6?所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1， 即P，Q两点间的距离为1.

5．直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.

(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．

??x＝－2＋tcos α，

解：(1)直线l的参数方程为?(t为参数)，

?y＝－4＋tsin α?

ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C的直角坐标方程得y2＝2x.

(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得 t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0， 设A，B对应的参数分别为t1，t2，