2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：选修4-4 第1讲 坐标系 Word版含答案

????x′＝3x，?1??解析：设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到?1由于点A的坐标为?3，－2?，

?2y′＝y，??y′＝y.

?

2

11

于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，

32

所以A′的坐标为(1，－1)． 答案：(1，－1) 2．将圆a，b的值．

x2＋y2＝1

??X＝ax（a>0），x2y2

变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：?求

94?Y＝by（b>0），?

x′＝3x，

?x＝aX，??X＝ax，XY

解：由?得?代入x＋y＝1中得＋＝1，所以a＝9，b＝4，

ab1?Y＝by?

?y＝bY，

2

2

2

22

2

2

2

1

因为a>0，b>0，所以a＝3，b＝2.

极坐标与直角坐标的互化(师生共研)

(1)已知直线l的极坐标方程为

π7π

θ－?＝2，点A的极坐标为A?22，?，求点A到直线l的距离． 2ρsin?4??4??

(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．

π22

θ－?＝2，得2ρ?sin θ－cos θ?＝2，所以y－x＝1. 【解】 (1)由2ρsin??4?2?2?7π|2＋2＋1|5222，?得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝由点A的极坐标为?＝. 4??2252

即点A到直线l的距离为.

2

?x＝ρcos θ，?(2)将?代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，

??y＝ρsin θ

得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

极坐标方程与直角坐标方程的互化

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．

1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已ππ

2，?，直线的极坐标方程为ρcos?θ－?＝a，且点A在直线上，求a知点A的极坐标为?4???4?的值及直线的直角坐标方程．

ππππ

θ－?＝a上，所以a＝2cos?－?＝2， 解：因为点A(2，)在直线ρcos??4??44?4所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

π2

θ－?＝(ρ≥0，2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin?0≤θ<2π)． ?4?2(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0， π2

θ－?＝， 直线l：ρsin??4?2即ρsin θ－ρcos θ＝1，

故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0. (2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，

22???x＋y－x－y＝0，?x＝0，?将两方程联立得解得? ?x－y＋1＝0，?y＝1，??

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)， π

1，?即为所求． 将(0，1)转化为极坐标为??2?

求曲线的极坐标方程(师生共研)

(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O

为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.