[中考优选]北师大初中数学中考总复习：函数综合--知识讲解（基础）.doc

举一反三：

x22【变式】作出函数y=x, y?，y?(x)的图象，它们是不是同一个函数？

xx2【答案】 函数y?(x)的自变量x的取值范围是x≥0；函数y?在x≠0时，就是函数y=x；而

x2x2x=0不在函数y?的自变量x的取值范围之内.

x 由此，作图如下：

可见它们不是同一个函数. 类型二、函数图象及性质

2．已知：

(1)m为何值时，它是一次函数.

(2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y是随x的增大而增大还是减小？

(3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积. 【思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0. 【答案与解析】

(1)依题意：

，解得m=1或m=4.

∴当m=1或m=4时，它是一次函数.

(2)当m=4时，函数为y=2x，是正比例函数，图象过一，三象限， y随x的增大而增大.

当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y随x的增大而减小.

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(3)直线y=-x-3不过原点，它与x轴交点为A(-3，0)， 与y轴交点为B(0，-3)，

.

，与两轴围成的三角形面积为

.

.

∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为

【总结升华】

(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.

(2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b（k≠0）中k、b的符号. (3)直线y=kx+b（k≠0）与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b（k≠0）上的点在x轴上时，令y=0，则y轴上时，令x=0，则y=b，即交点为(0，b).

举一反三：

【变式】已知关于x的方程x2?(m?3)x?m?4?0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；

（3）设抛物线y?x2?(m?3)x?m?4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y??x的对称点恰好是点M，求m的值. 【答案】

证明：（1）??b2?4ac?(m?3)2?4(m?4)?m2?10m?25?(m?5)2≥0，

所以方程总有两个实数根.

解：（2）由（1）??(m?5)2，根据求根公式可知,

m?3?(m?5)2 方程的两根为：x? 即x1?1，x2?m?4,

2，交点为；当直线y=kx+b（k≠0）上的点在

由题意，有4?m?4?8，即8?m?12.

（3）易知，抛物线y?x2?(m?3)x?m?4与y轴交点为M（0，m?4）,由（2）可知抛物线与x轴的

交点为（1,0）和（m?4,0），它们关于直线y??x的对称点分别为（0,?1）和（0, 4?m）， 由题意，可得?1?m?4或4?m?m?4，所以m?3或m?4.

3．抛物线y=x+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x﹣2x﹣3，则b、c的值为（ ）

A．b=2，c=2 B．b=2，c=0 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=2

2

2

6

【思路点拨】

易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值． 【答案】B． 【解析】

解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），

222

设原抛物线的解析式为y=（x﹣h）+k代入得：y=（x+1）﹣1=x+2x， ∴b=2，c=0． 故选B．

【总结升华】

抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．

4．若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y?是 ． 【思路点拨】

1的图象没有公共点，则实数k的取值范围x?y?kx?11?因为反比例函数y? 的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+1中，k＜0，将解方程组 ? 1xy??x?转化成关于x的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0即可． 【答案】k＜-1. 41的图象在第一、三象限， x【解析】由反比例函数的性质可知，y?∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0， ?y?kx?1?2解方程组?，得kx+x-1=0， 1y??x?当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k＜0， 解得k＜-1， 4∴两函数图象无公共点时，k＜-故答案为：k＜-1． 41. 4【总结升华】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于x的一元二次方程，再确定k的取值范围．

类型三、函数综合题

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5．（2015春?姜堰市校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，有下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；其中正确结论的个数是（ ）

A．0 B． 1 C． 2 D．3 【思路点拨】

根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号． 【答案】C． 【解析】

解：①∵开口向下，∴a＜0，对称轴在y轴的左侧，b＜0，∴①正确； ②当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，②正确； ③﹣

=﹣，2a=3b，x=﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，b+2c＞0③错误；

故选：C． 【总结升华】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 举一反三：

【变式】二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b﹣4ac与反比例函数y=同一坐标系内的图象大致为（ ）

2

2

在

A. B． C． D．

【答案】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0； ∴双曲线

的图象在第二、四象限；

由于抛物线开口向上，所以a＞0；

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