[中考优选]北师大初中数学中考总复习：函数综合--知识讲解（基础）.doc

中考总复习：函数综合—知识讲解（基础）

【考纲要求】

1．平面直角坐标系的有关知识

平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等； 2．函数的有关概念

求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法； 3．函数的图象和性质

常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置； 4．函数的解析式

求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．

一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．

【知识网络】

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【考点梳理】

考点一、平面直角坐标系 1．相关概念

（1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标

2.各象限内点的坐标的符号特征 3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点

（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标 4.距离

（1）平面上一点到x轴、y轴、原点的距离

（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用

（1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y； （2）点P(x,y)到y轴的距离等于x； （3）点P(x,y)到原点的距离等于x2?y2.

考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念

3.函数的自变量的取值范围 4.函数值

5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法） 6.函数图象 要点诠释：

由函数解析式画其图像的一般步骤：

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

考点三、一次函数

1.正比例函数的意义 2.一次函数的意义

3.正比例函数与一次函数的性质

4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系 5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释：

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y?kx（k?0）中的常数k；确定一个一次

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函数，需要确定一次函数定义式y?kx?b（k?0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.

考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念

2.反比例函数的图象及性质 3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释：

k(k?0)图像上任一点P(x,y) x作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy.

反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数y??y?k, ∴xy?k，S?|k|. x

考点五、二次函数 1.二次函数的概念

2.二次函数的图象及性质

3.二次函数与一元二次方程的关系 4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为

?x1?x2?2??y1?y2?2.

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2、函数平移规律：左加右减、上加下减.

考点六、函数的应用 1.一次函数的实际应用 2. 反比例函数的实际应用 3. 二次函数的实际应用 要点诠释：

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.

【典型例题】

类型一、用函数的概念与性质解题

1． 已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得： （1）y随x的增大而增大；

（2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方；

（3）函数的图象过第一、二、四象限. 【思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当k＞0时，y随x的增大而增大；

（2）当b＜0时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； （3）当k＜0， b＞0时时，函数的图象过第一、二、四象限.

【答案与解析】

解：a、b的取值范围应分别满足：

（1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知： 当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2＞0, ∴a＞, 且b取任何实数.

（2）函数图象与y轴的交点为（0,1-b）， ∵ 交点在x轴的下方， ∴

，即a≠

, b＞1.

23 （3）函数图象过第一、二、四象限，则必须满足 .

【总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k＞0时，y随x的增大而增大；当b＞0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b＜0时，图象过一、三、四象限；当y=x时，图象过一、三象限，且是它的角平分线.由于常数k、b不同，可得到不同的函数，k决定直线与x轴夹角的大小，b 决定直线与y轴交点的位置，由k定向，由b定点.同样，如图2，是k＜0的各种情况，请你指出它们的图象的特点和性质.

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