条件概率的性质及其应用 - 毕业论文

P(B1|A)?P(B1)P(A|B1)?P(B)P(A|B)iii?14?0.0075?0.238

0.0315由此可知，第一条流水线应该负有23.8%的责任。

P(AB2)?P(B2)P(A|B2)?0.20?0.04?0.008

P(B2|A)?P(B2)P(A|B2)?P(B)P(A|B)iii?14?0.008?0.254

0.0315由此可知，第二条流水线应该负有25.4%的责任。

P(AB3)?P(B3)P(A|B3)?0.30?0.03?0.009

P(B3|A)?P(B3)P(A|B3)?P(B)P(A|B)iii?14?0.0075?0.286

0.0315由此可知，第三条流水线应该负有28.6%的责任。

上面的计算中实际上已经建立了一个非常有用的公式常常称为贝叶斯公式。

2.3 概率的贝叶斯公式

定理3 设H1，H2，???为有穷或者可列多个互不相容的事件，P(?Hn)=1，

P?Hn?>0，（n=1，2，3，???），则对任何一个事件A，P?A?>0 ， 有

nP?Hm|A??P(A|Hm)P?Hm??P?A|H?P?H?nnn

上面的式子称为贝叶斯公式

证明 ：由条件概率的定义及全概率公式得到

P?Hm|A??P?AHm?P?A??P(A|Hm)P?Hm??P?A|H?P?H?nnn

例子 设甲乙丙三个盒子中

甲盒子中有a1 个白球b1 个黑球 乙盒子中有a2 个白球b2 个黑球

丙盒子中有a3 个白球b3 个黑球 , (a1?a2?a3?0)

现在任意取出一盒子，再从这个盒子当中取出来一个球，结果发现这个球为白球。试在事件A“此球为白球”的条件下，求事件H1“这个球是属于甲盒子的”条件概率P?H1|A?。

1解 这里P?H1?=P?H2?=P?H3?=?0，这里H1，H2，H3分别表示“这个球属于

3甲盒子” “这个球属于乙盒子” “这个球属于丙盒子”，这三个互不相容的事件，?Hn=?，所以P(?Hn)=1;又由全概率公式

n=1n=133P?A?=?P?Hn?P?A|Hn?

n=13=1a11a21a++>0

3a1+b13a2+b23a3+b3所以可以用贝叶斯公式得到

1a13a1+b1P?H1|A?=

1a11a21a++3a1+b13a2+b23a3+b3=

1

a2(a1+b1）a3(a1+b1）1??a1(a2+b2)a1(a3+b3)贝叶斯公式通常用在下列实际问题中：设只可能出现H1，H2，H3 ???共有有穷个或者可列多种不同的情况，而事件A只能伴随着这些情况之一发生。如今A已经出现的情况下，试求发生了情况Hm的条件概率。

例子 有朋自远方来，他乘坐火车来的概率是310 ，乘船来，或者乘坐汽车来，或者乘坐飞机来的概率分别是15， 110， 25 ，如果他乘坐火车来，迟到的概率是14 ；如果他乘坐船或者乘坐汽车，那么迟到的概率分别为13 ，

112 ； 如果乘坐飞机来便不会迟到（因而。这时迟到的概率为0）。结果他是

迟到了，试问在此条件下，他乘坐的是火车的概率是多少？

解 以事件A表示“迟到”， H1 ，H2 ，H3 ，H4分别表示“乘坐火车”“乘船”“乘坐飞机”，这样于是

P?H1|A?=P?H1?P(A|H1)P?H1?P(A|H1)+P?H2?P(A|H2)+P?H3?P(A|H3)+P?H4?P(A|H4)

31?104 =3111112?+?+?+?1104531012513注意P?H1|A?= 与P?H1?=是不同的。类似的，如果以事件A的对立事件A

210（不迟到）代替上面式子中的A ，就得到

33?9104PH1|A = =

3312111234?+?+?+?11045310125??

2.4 概率的三定理的综合应用

下列中各个例子可以说明上述定理的联合应用

例1 设甲乙二人在装有a个白球和b个黑球的盒子中任意取出一个球，从甲开始然后轮流取球。每次取后不还原，试求甲(或者乙)先取出的是白球的概率

p1（或者p2）。

解 为了使甲先取出一个白球，必须也只须或者甲第一次就取出的球是白球（记为“白”），或者甲第一次取出的球是黑球，乙第二次取出的球是黑球，甲第三次取出的球为白球（记为“黑、黑、白”） ??????因而事件“甲先取出的球是白球”可以表示为互不相容的事件“白”、“黑、黑、白”、“黑、黑、黑、黑、白” ??????的和，然而事件“白”的概率为

a ，事件“黑、黑、白”的概率可用概率的a?b乘法公式 P(A1A2???A)n=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)???P(An|A1A2???An-1)来计算得

ab?1a ，事件“黑、黑、黑、黑、白”的概率任然可以用概??a?ba?b?1a?b?2ab?1b?2b?3a率的乘法公式来计算出，??????，所以 ????a?ba?b?1a?b?2a?b?3a?b?4出

p1??a?b(b?1)b(b?1)(b?2)(b?3)1?????? ??a?b?(a?b?1)(a?b?2)(a?b?1)(a?b?2)(a?b?3)(a?b?4)?同样得到

p2??a?bb(b?1)(b?2)?????? a?b?a?b?1(a?b?1)(a?b?2)(a?b?3)??注意，由于b是有穷数，故上面两个式子右方中自某一项起全为0，又因为甲、乙二人中，总有一个人先取出白色的球，故p1?p2?1。以p1、p2的值代入并且简化后，得到等式

1?bb(b?1)a?b ??????a?b?1(a?b?1)(a?b?2)a于是我们附带地用概率的方法证明了上面的恒等式。用概率的方法来证明一些关系或者解决其他一些数学分析中的问题。是概率论中的重要研究方向之一。

例2 从装有a个白球和b个黑球的盒子中同时取出n个球，a?b?n，试求至少取出一白球的概率p 。

解 先求对立事件的概率，事件B：“取出的全部是黑球”的概率是

?b???nq???

?a?b???n??所以

p?1?q?1?b(b?1)???(b?n?1)

(a?b)(a?b?1)???(a?b?n?1)还可以用另一个让发求得p ：同时取出n个球可以看成不还原地连续取出n次，每次取出一个球。为了使n次中至少取出一白球，必须也只须或者第一次就得到白球（概率为

a），或者第一次取出的是黑球第二次取出的是白球（概率为a?baa），??????，这些事件互不相容，所以 ?a?ba?b?1ababb?1b?n?2a p???????????????a?ba?ba?b?1a?ba?b?1a?b?n?2a?b?n?1比较上面的两个式子，可见它们右方的值相等，于是又得到恒等式：当a>0时

1+bb(b?1)(b?2)???(b?n?2) ?????a?b?1(a?b?1)(a?b?2)???(a?b?n?1)??a?b?b(b?1)(b?2)???(b?n?1)1?? a?(a?b?1)(a?b?2)???(a?b?n?1)??