【2014西城一模】北京市西城区2014届高三一模试卷 数学理-含答案

等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值； ．．．．．．

（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，

D1E?CD，AB?2BC?2.

（Ⅰ）求证：BC?D1E； （Ⅱ）求证：B1C// 平面BED1；

D1 C1

A1 B1 E D C A B （Ⅲ）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为

18．（本小题满分13分）

x?a,??xlnx,已知函数f(x)??2 其中a≥0．

???x?2x?3,x≤a,π，求线段D1E的长度. 3（Ⅰ）当a?0时，求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意x1,x2?R，且x1?x2，都有f(x1)?f(x2)，求a的取值范围.

19．（本小题满分14分）

x22已知椭圆W：?y?1，直线l与W相交于M,N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两

2点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线l的方程为x?2y?1?0，求?OCD外接圆的方程；

（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C,D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方

程；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

1(n?N?). 从数列{an}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为n1111{bn}，并称{bn}为数列{an}的k项子列. 例如数列,,,为{an}的一个4项子列.

2358在数列{an}中，an?（Ⅰ）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；

（Ⅱ）如果{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足

1??d?0； 8（Ⅲ）如果{cn}为数列{an}的一个m(m≥3)项子列，且{cn}为等比数列，证明：

c1?c2?c3??cm≤2?12m?1.

北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学（理科） 2014.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．?2 10．8 x??4 511．23 12．(3,5) 13．48

14．○2,○3

注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为 b?c?a?bc，

222b2?c2?a21?， ……………… 3分 所以 cosA?2bc2 又因为 A?(0,π)，

所以 A?π. ……………… 5分 36，B?(0,π)， 32（Ⅱ）解：因为 cosB?所以 sinB?1?cosB?由正弦定理

3. ………………7分 3ab?， ………………9分 sinAsinBbsinA?3. ………………10分 得 a?sinB因为 b?c?a?bc，

222

所以 c?2c?5?0， 解得 c?1?6， 因为 c?0，

所以 c?6?1. ………………11分

2故△ABC的面积S?

16．（本小题满分13分）

132?3bcsinA?. ………………13分 22（Ⅰ）解：a?0.15，b?30. ……………… 2分 （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，

所以优等品、正品和次品的比例为50:100:50?1:2:1. ……………… 4分 所以按分层抽样法，购买灯泡数n?k?2k?k?4k(k?N)，

所以n的最小值为4． ……………… 6分 （Ⅲ）解：X的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分

由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1?0.15?0.25， ……… 8分 从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验， 所以P(X?0)?C3?(1?)??27， 6411227P(X?1)?C1??(1?)?， 344641192P(X?2)?C3?()2(1?)1?，

4464131P(X?3)?C3?()?. ……………… 11分 34640314所以随机变量X的分布列为：

X P 0 1 2 3 27 6427 649 641 64………………12分