【名师推荐资料】(江苏专用)新2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第45讲 空间点、线、面之间

最新审定版资料 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面. 考点二 判断空间两直线的位置关系

【例2】 (1)(2015·广东改编)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，

l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________(填序号).

①l与l1，l2都不相交； ②l与l1，l2都相交；

③l至多与l1，l2中的一条相交； ④l至少与l1，l2中的一条相交.

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是________(填序号).

①MN与CC1垂直； ②MN与AC垂直； ③MN与BD平行； ④MN与A1B1平行.

(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

解析 (1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交.

(2)连接B1C，B1D1，如图所示，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，又BD∥B1D1， ∴MN∥BD.

欢迎下载！ 最新审定版资料 ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1， ∴MN⊥CC1，MN⊥AC. 又∵A1B1与B1D1相交， ∴MN与A1B1不平行. (3)图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M?平面GHN，N?GH， 因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?平面GMN，G?MN， 因此GH与MN异面. 所以图②④中GH与MN异面. 答案 (1)④ (2)④ (3)②④

规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决. 【训练2】 (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：

①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为________.

(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠2，有以下四个结论：

①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；

③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线.

其中正确结论的序号是________(注：把你认为正确结论的序号都填上).

解析 (1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立.

(2)过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确，过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R，S，则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误.由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平

欢迎下载！ 最新审定版资料 面A1B1C1D1，故③正确.综上所述，其中正确的序号是①③. 答案 (1)1 (2)①③

考点三 求两条异面直线所成的角

【例3】 (2018·南京模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________.

解析 如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，

所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角， π

在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝. 3答案

π 3

规律方法 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

【训练3】 (2018·盐城模拟)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为________.

解析 画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.

欢迎下载！ 最新审定版资料

设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF， 设EF的中点为O，连接CO， 则EF∥BD，

则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角. △ABC为等边三角形，则CE⊥AB， 易得CE＝3，同理可得CF＝3， 故CE＝CF.

因为OE＝OF，所以CO⊥EF. 111

又EO＝EF＝BD＝，

242

所以cos∠FEC＝＝3 6

EOCE123

＝

3. 6

答案

一、必做题

1.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a?α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的________条件.

解析 若a?α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β?b⊥α， 又a?α，所以a⊥b；若a⊥b，a?α，b⊥β，

则b⊥α或b∥α或b?α，此时α∥β或α与β相交， 所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件. 答案 充分不必要

2.(2018·南京、盐城一模)现有如下命题： ①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；

欢迎下载！