【名师推荐资料】(江苏专用)新2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第45讲 空间点、线、面之间

最新审定版资料 第45讲 空间点、线、面之间的位置关系

考试要求 1.平面的基本性质及其简单应用(证明一些空间图形的位置关系的简单命题)(A级要求)；2.空间点、线、面的位置关系(A级要求).

诊 断 自 测

1.下列命题中正确的个数为________. ①梯形可以确定一个平面；

②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确. 答案 2

2.(必修2P23练习2改编)用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面α内”为________.

解析 考查点、线、面之间的符号表示. 答案 P?l，l?α

3.(必修2P31习题5改编)下列说法中正确的是________(填序号). ①两两相交的三条直线共面；

②四条线段首尾相接，所得的图形是平面图形； ③平行四边形的四边所在的四条直线共面；

④若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD不一定异面. 解析 当三条直线交于一点时有可能不共面；四条线段首

尾相接，所得的图形可以构成空间四边形；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD一定异面，可反证. 答案 ③

4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________.

欢迎下载！ 最新审定版资料 EF23

解析 ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠

FG23EGF＝45°，

∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝60°.

答案 45° 60°

5.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

GF23

＝3，∴∠GBFBF2

①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直．

以上四个命题中正确命题的序号是________．

解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 答案 ②③④

知 识 梳 理

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

?平行直线???共面直线?

? ??相交直线

??异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

欢迎下载！ 最新审定版资料 (2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线

a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角.

?π?②范围：?0，?.

2??

3.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.

考点一 平面基本性质的应用

【例1】 (1)(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的________条件.

(2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上11

的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：

33

①E、F、G、H四点共面； ②三直线FH、EG、AC共点.

(1)解析 若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交. 答案 充分不必要

(2)证明 ①连接EF，GH，如图所示，

∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF∥BD.

欢迎下载！ 最新审定版资料 11

又∵CG＝BC，CH＝DC，

33∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H四点共面.

②易知FH与直线AC不平行，但共面，

∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG， ∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点.

规律方法 共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 【训练1】 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD11

＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G、H分别为FA、FD的中点.

22

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD， 11

可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC.

22∴四边形BCHG为平行四边形.

1

(2)解 ∵BE綊AF，G是FA的中点，∴BE綊FG，

2∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.

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