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第3章 Laplace域全波形反演
反演一个最基本的问题-非唯一性问题只有解决了这个问题才可以进一步延伸到3D弹性反演算法的解决.Shin和Chas32 最近研究在Laplace域 进 行 全 波 形 反 演解 决 非 唯 一 性 问 题.虽 然Laplace域全波形反演不能得到像频率域一样高的分辨率的成像但是它能取得长波长的速度构造甚至从没有低频分量的数据中.因此Laplace域反演能反演出高速度差的模型这是从局部离散的频率域反演中所得不到的.Suk joon Pyun等33 使用迭代解法发展了Laplace域的3D弹性波反演与直接求解不同此方法可以适用于大尺度3D地震全波形反演.假定震源是垂向激发的最好的策略是使用垂向位移来构建目标函数能够估计高分辨率全波形反演和速度偏移的初始速度模型.针对深海环境Dongkweon Lee等34 提出一种使用直达波剥离方法的Laplace域全波形反演方程由没有直达波的震源估计而得与一般的对数正态的Laplace域全波形反演反演相比更适合应用到深海环境中?
第4章 FWI的典型算法——共轭梯度法
共轭梯度法是一种经典算法，常用于求解非线性最优化问题，它是一种快速，高精度的解法。反演的过程是:首先建立初始模型，并
利用地震波时域有限差分法(FDTD)模拟出正演数据，然后用全波形反演方法去计算正演数据得到反演结果，再用反演结果作正演且与观测数据相对比得出数据残差，根据数据残差并应用最优化理论（共轭梯度法）得出对反演结果的修改，如此反复进行，最终得到比较满意的反演结果。
4.1 地震波正演模拟方法
常用的数值计算方法：有限差分法，有限元法，积分方程法，快速离散傅里叶变换法，拟谱法（伪、虚）谱法，射线追踪法等。这里采用有限差分法来使波动方程离散化。
这里采用最普遍的有限差分法,它的基本原理如下：用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数（微商），把要解的边值问题转化为一组相应的差分方程。然后，解出差分方程组 (线性代数方程组)在各离散点上的函数值，便得到边值问题的数值解。
4.2 波动方程的离散化原理
我们用矩阵的概念去说明波动方程的部分差分算子。在时域和频域使波动方程离散化的最流行的直接方法是有限差分方法。虽然更加精确的有限元或有限体法能被考虑，当通过非结构网格的精确边界条件一定被应用的时侯。
在时域，有
d2u(x,t)M(x)?A(x)u(x,t)?s(x,t)2dt .
其中M和A是质量和硬度矩阵，源用S表示且地震波场用u.在声波近似中，u通常表示压力，虽然在弹性情况中u通常表示水平的和垂直的粒子速度。时间由t表示，空间坐标用x表示。方程1通常用一个清楚的时间匹配算法来解：在某一空间位置的第n+1时间步骤的波场值推得。明确的时间匹配算法被避免因为它们需要解一个线性系统。如果速度和压力波场都起作用，那么系统的第二步方程能通过加入必要的辅助变量被改写为第一步的双曲线形的速度-压力系统。
在频域，波动方程简化为一个线性系统，右手边的是源而解是地震波场，该系统能被简洁地写为如下B(x,w)u(x,w)=s(x,w)其中B是阻抗矩阵，。这个稀疏的赋值复杂地矩阵B有一对称模式，虽然由于吸收了边界条件但它并不是线性的。
方程2能被解出通过分解B如LU分解法，LU三角分解法产生直接分解技术。直接分解法的优势在于一旦分解被执行，方程2 对于复合源用正向和反向替代能有效的解出。然而LU分解的时间和存储复杂度及在大尺度分散式存储平台上其有限的尺度了该方法对于大尺度3D问题的应用（例如涉及到一千万个未知量的问题）。
迭代解提供给了为解时间谐振波动方程的一个可替代方法。迭代解目前是用Krylov子空间方法来完成的，此方法通过解被压制的时间谐振波动方程被用作先决条件。被压制的波动方程的解用一个多分量网格的循环来计算。迭代法的优势是低存储，虽然主要缺点因阻抗
矩阵是无限的而很难设计一个有效的先决条件而产生，在我们所知道的范围内，弹性波动方程的延拓仍需要进行研究。对时域方法而言，与直接解法相比，迭代解法的时间复杂度随着源的数目线性增加。
介于直接和迭代方法间适中的方法由基于一个域分解法和Schur补充系统的一个混合的直接-迭代法组成。迭代解法用于解简化了的Shure补充系统，它的解是介于压层中界面波节处的波场。直接接法用于把聚集在每一亚层处的局部阻抗矩阵分解。简单地说，该混合法就节省存储和复合源模拟效率而言提供了介于直接和迭代法间的一个折衷。
最后可能的计算单频的波长的方法是进行时域模拟并提取频域解或者通过在时间步骤的循环中离散Fourier变换或者用相位-灵敏度检测一旦达到固定态的体制。基于离散Fourier变换的方法的一个优势在于能以最小额外成本从时间步骤循环中提取任意数目的频率。第二，时域窗口能被轻松应用，而当在频域进行模拟这是办不到的。时间窗口允许FWI提取特定的达到波(直达波、反射、PS转化波)，而这对于减少反演的非线性化是有帮助的通过起先决作用的明智的数据。
在所有可能解法中，迭代解法理论上具有最好的时间复杂度（这里，“复杂度”指随计算范围的大小算法的计算代价是如何增长的）。如果迭代数目与频率独立的话。在实践中，迭代大体上随频率线性地增加。在这种情况下，时域的时间复杂度同迭代方法是等价的。
在FWI中源实现是一个重要的问题。Green函数的空间可逆性被用在FWI中以减少正演问题的数目如果接收器的数目明显比源的
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