2014年中考数学高分冲刺12 几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性

“特定结论”得以出现的根据和保证。因此，总体上来说，解决这类问题的切入点正在于与“探究”方向结合的情况下对“特殊条件”的深入研究和恰当运用（当然也要同时兼顾其他条件）。

（1）从条件直接推演

例1 已知：如图（1），?ABC中，?ABC?45?,CD?AB于点D，BE平分?ABC,且BE?AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

（1）求证：BF?AC；

（2）CE和BF有怎样的数量关系，写出判断并给出证明； （3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。

D F G E

（1）

A

C B H

【观察与思考】在三角形ABC中添加了诸多限制条件，从而使?ABC和?DBC极为特殊了，即： ⅰ、由BE平分?ABC,和BE?AC，得?ABC为等腰三角形，顶角?ABC?45?,底角?67.5?。 ⅱ、由?ABC?45?,CD?AB，得?DBC为等腰三角形，而DH为其底边上的中线； ⅲ、由BD?CD,?DBF??DCA?22.5?，得Rt?DBF?Rt?DCA。 有了这些研究，结论的探究和推证就很多容易了。

简解：（1）由ⅰ、ⅱ、ⅲ、得Rt?DBF?Rt?DCA，?BF?AC。 （2）由（1）知BF?AC，而由ⅰ知AC?2CE,?BF?2CE

（3）若连结CG，由DH为BC的对称轴知CG?BG，而Rt?CGE中，CG为斜面边。 ?CE?CG?BG。

【说明】在本题，?ABC为为顶角是45°的等腰三角形和?DBC为等腰直角三角形是各结论成立的决定因素，所

以，由本题的原始条件

例2 如图（1），在Rt?ABC中，?BAC?90?,AB?AC?23，D，E两点分别在AB，AC上，

如上的ⅰ、ⅱ、ⅲ、是思考的关键步骤，是“条件研究和运用”的主要体现。

DE//AB,CD?22，将?CDE绕点C顺时针旋转，得到?CD'E'（如图（2），点D',E'分别与D,E对应，

点E'在AB上，D'E'与AC相交于点M。 （1）求?ACE'的度数；

（2）判断ABCD'是怎样的四边形，并说明理由。

A D （1） C

B

A M D' （2）

E' B

C

E

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【观察与思考】结合要求的“结论”，研究本题的条件，可知：

ⅰ、?ABC和?DEC进而（?D'E'C）都是等腰直角三角形，且腰长分别为23和22； 在此基础上进一步有：

ⅱ、在Rt?CE'A中，CE'?CE?4,AC?23,可知?ACE'?30? ⅲ、在?E'CB和?D'CA中，?E'CB??D'CA?15?，

BC23?2CA23。 ???E'C4D'C22即?E'CB∽?D'CA

对旋转后的图形（2）中出现的新图形有了如上的认识，相应的结论就容易求得和探究了。

简解：（1）由以上的ⅰ、ⅱ、可得?ACE'?30?；

（2）由ⅲ、得?E'CB∽?D'CA??CAD'??CBE'?45???ACB，可知AD'//BC，而

?ABC?45?,?BCD'?60?，可知AB与D'C不平行，所以ABCD'是梯形。

【说明】在本题，条件的研究侧重在两点：第一，把基本背景（1）对应的情况和旋转结合起来；第二，重在围绕要解决的问题（1）和（2）把相应的新图形（如图（2）中的?ACE',?BCE',?ACD'等）。的有关数量搞清楚。

例3 我们知道：有两条边相等的三角形叫等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图（1），在?ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若

?A?60?,?DCB??EBC?1?A。 21?A，探2 请你写出图中一个与?A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在?ABC中，如果?A是不等于60?的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且?DCB??EBC?究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

【观察与思考】在全面审题的基础上很容易解决问题中的（1），而由

A 11?BOC?180???DCB??EBC?180???A??A?180???A

22则在?A?60?时，易知?BOD??COE?60?，并容易看到四边形

B

D E

（1）

O

C

DBCE可能是等对边四边形，因此，问题（2）获解。剩下的核心问题是（3），即如何在“?DCB??EBC?这个条件下，去推得“BD?CE。”

1?A”2

ⅰ、观察原图形，容易由“?DCB??EBC”这个条件结合BC公用，想到去作辅助线：“BF?CD，交CD延长线于F，作CG?BE于G。”以构造出Rt?CBF?Rt?BCG，得到BF?CG。 ⅱ、在ⅰ和基础上，进一步想到应由“?DCB??EBC?1?A”，去导出?BDF??CEB，也即导出2- 14 -

?CDB??CEB?180?，事实上，?CDB??A?(?C??CD??BC11?A),?CEB??A?(?B?A) ，当22E??BA??B??C?1?8，由此可推得0Rt?BDF?Rt?CEG，得到BD?CE。

A 然有

解：（1）等腰梯形，矩形等；

（2） ?EOC??A，四边形DBCE是等对边四边形；

（3）四边形DBCE是等对边四边形，证明已在“观察与思考”中。

F D E G （1`）

O

B C

【说明】我们看，本题的（3）关键步骤是通过作BF?CD，CG?BE构造全等三角形，但这种作法的诱发，却是条件“?DCB??EBC”。的提示和引导。

结合背景和探究结论的基本方向研究条件，充分发挥特殊条件的特殊作用，是获得特定结论和给出特定结论证明的基础及保证。

（2）更灵活的利用条件

例4 我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。 D A

60? O A D

60? O （1）

（1`）

C B

B E C

【观察与思考】问题（1）很多容易，而问题（2）的探究，就要从条件“两条对角线相等，且所夹的锐角为60°”出发，进行研究，通过画图，可以知道，符合这个条件的四边形应有两类，如图（1）和（2）分别有OA?OD和OA?OD。

而为了探究BC?AD和AC的关系，在图（1）这种特殊情况可如图（1`）那样平移AC到DE，此时?DBE为等边三角形，可推得AD?BC?BE?DE?AC；这又促使我们想到：在图（2）这样的情况，仍将AC平移至DE，如图（2`），连结BE,CE。据?DBE为等边三角形和?BCE的三边关系，有

AD?BC?CE?BC?BE?DE?AC。

如此一来，结论为AD?BC?AC连同证明方法都被我们探究了出来。

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D

A

D

A 60?

解：（略）

（2`）

（2）

【说明】在本题，全面认识与分析条件下图形的类型，并以“特殊”情况的研究为先导，顺利地将问题解决。

以上两例提示我们：条件的研究和运用仍有原则与策略，那就是：一要全面考虑它所涵盖的各种情景；二要善于发挥“特殊”情况的指引和铺垫作用。

2、“探究特定条件”问题的思考特征

探究特定条件常用的思考策略是：

Ⅰ、借助分析法找结论成立的充分条件； Ⅱ、借助逆向思考的方法由结论倒推条件

（1）借助“分析法”寻找结论成立的充分条件

大家对“分析法”应较为熟悉，现公举一例说明。

例5 如图（1），半圆O为?ABC的外接半圆，AC为直径，D为弧BC上的一动点。 （1）问添加一个什么条件后，能使得

（2）若要有AB//OD,点D所在的位置应满足什么条件？

（3）如图（1`），在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么 特殊四边形？证明你的结论。

A BDBE?？请说明理由。 BCBDD B E O C （1）

【观察与思考】（1）和（2）是探究特定条件，而（3）是探究特定结论。

B E D （1`）

BDBE?成立，只需有?BDE∽?BCD， BCBD而在?BDE和?BCD中，?DBE即?CBD，故只需?ADB??DCB， 对于问题（1），要使

因此，添加的条件可以是B为弧AD的中点。或AB?BD；

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A O C