2014年中考数学高分冲刺12 几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性

PH和BE数量关系的猜想，并找到了其根据，至于计算和证明，我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行。

A （1）

G P H Q

D

（2）

B E

F

C 解：（1）过P作PQ?BC于Q，如图（2），在Rt?PEQ中，

?PQ?AB?3,?PEQ?60?,?PE?332?2。

P'P G H Q

C （2）PH和BE数量关系是PH?BE?1。理由如下： 作BP'//PE,交AD于P'，如图（3）

在Rt?BP'A中，BP'?2,?ABP'?30?,?AP'?1。

A D

（3）

B E

F

??PAH??PHA?30?,?PH?PA?PP'?P'A?BE?1。

【说明】正是借助于对特殊情况的考察，特别是不同形态情况的对比，更快地发现了等边?PEF平移反映的不变性。

例5 （1）如图，（1），OA，OB是⊙O的两条半径，且OA?OB，点C是OB延长线上的任意一点，过点

C作CD切⊙O于点D，连结AD交OC于点E,求证：CD?CE。

（2）若将图（1）中的半径OB所在的直线向上平移交半径OA于点F，交⊙O于点B'，其他条件不变，如图（2），那么CD?CE的结论还成立吗？为什么？

A E B F A E F C E G A C

B' O D （1）

C

O D （2） O （3） D

（3）若将图（1）中的半径OB所在的直线向上平移到与⊙O相离的位置，它与半径OA的延长线交于点G，点E是DA延长线与CF的交点，其他条件不变（如图（3），那么CD?CE的结论还成立吗？为什么？

【观察与思考】先考虑图（1）这种特殊情况下是如何推得结论的。背景图形中有两个特殊点：一是OA?OB，二是CD切⊙O于点D，若连结OD——为使切线发挥作用，如图（1`），立刻得到?OAD??ODA，而分别为它们余角的?OEA和?CDE自然也就相等，这样，已得到了CD?CE的保证。

将图（2）、图（3）的情况与图（1）的情况对比，上述的“两个特殊点”仍然保持，因此，结论和根据也理应保持。

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解：（1）连结OD，如图（1`），由OD?OA,得?OAD??ODA，

A E B ?OA?OB,??CED??OEA?90???OAD。

?CD切⊙O于点D，?OD?CD。

??CDE?90???ODA?90???OAD??CED。 ?CD?CE。

（2）CD?CE的结论仍然成立，理由是： 在图（2）中连结OD。

OC

（1`）

D ?CDE?90???ODA?90???OAD??FEA??CED，?CD?CE。

（3）CD?CE的结论也是成立的，理由是： 在图（3）中，若连结OD，与（1）同理，

有?CDE?90???ODA?90???OAD?90???GAE??CED，?CD?CE。

【说明】Ⅰ、本题的思考突出了先研究特殊，再去沟通其他的情况和特殊情况的本质联系； Ⅱ、在本题正是“平移不改变角度”这一特征，保证了题中反映的不变性的成立。

由以上两个例子看出：

相当多由图形变换引出的不变性或变化规律的问题，解法的思考应沿“变换”为线索，探究清楚其各类形态间的统一和差异，以及变换过程中“变”与“不变”间的关系，

2、由背景扩充引出的不变性或变化规律

由背景扩充，尤其是从特殊到一般，是知识形成与发展的重要途径。在这个过程中，重要的课题就是研究哪些性质保持不变，哪些性质发生了变化，又是怎样的规律变化的。

解决这类问题，思考时应该突出如下两点： Ⅰ、善于构造“特殊”和运用“特殊”；

Ⅱ、善于在比较中把握不同情形下的知识与方法的共同点。

（1）善于构造“特殊”和运用“特殊”

例6 如图（1），在?ABC中，AB?BC?5,AC?6.?ECD是?ABC沿BC方向平移得到的，连结BE交AC于点O,连结AE。

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由。

（2）如图（2），P是线段BC上一动点（不与B，C重合）。连结PO并延长交线段AE于点Q，四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积。

A E A Q

E O

B

C

D

（1）

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O

B

P

C

（2） D

【观察与思考】对于（1），易推得四边形ABCE是菱形；对于（2），我们可以借助于点P的极端位置来思考，假定P在B点处（虽然题目P不与B，C重合，但不影响我们把这种情况作为思考的“桥梁”），则此时

S四边形PQED?S?BED，如此一来，（2）的结论和理由就一起得到了。

解：（1）四边形ABCE是菱形；证明如下：

??ECD是由?ABC沿BC平移得到的。?EC//AB,且EC?AB，

?四边形ABCE是平行四边形，

又?AB?BC，?四边形ABCE是菱形。

（2）四边形PQED的面积不随点P的运动而发生变化，是确定的值。 由菱形的中心对称性知，?PBO??QEO，?S?PBO?S?QEO，

??ECD是?ABC平移得到的，?ED//AC,ED?AC?6，

又?BE?AC,?BE?ED。

?S四边形PQED?S?QEO?S四边形POED?S?PBO?S四边形POED?SRt?BED?11?BE?ED??8?6?24。 22

例7 已知，如图（1），以?ABC的边AB，AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断?AEG和?ABC面积之间的关系，并说明理由。

E

G 【观察与思考】在条件中给出的?ABC没有任何其他限制，为了获得

?AEG和?ABC面积关系的认识，我们对?ABC从“一般”中取出

其包含的“特殊”——令?ABC中?BAC?90?，即直角三角形， 如图“特殊”，明显地看出，这时有Rt?ABC?Rt?AEG，立刻得

A D

（1） F

S?AEG?S?ABC，因此，促使我们产生猜想：对于任意的?ABC，如

题中操作得到?AEG，都应当有S?AEG?S?ABC。设法验证这个猜想。 因为AE?AB,只需要再有?AEG中AE边上的高和?ABC中AB边

D

B E C

G

A

（特殊） F

B

C

上的高相等，就可推得S?AEG?S?ABC，而由?EAG和?BAC为互补，

AG?AC，以上两个高相等是很多容易推出的。（见图（1`）

解：结论：S?AEG?S?ABC。理由如下：

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E G A D

N 作GM?EA,交EA的延长线于点M；作CN?AB,交AB于点N。 则：S?AEG?11AE?GM,S?ABC?AB?CN。 22（1`）

?AE?AB,GM?AG?sin?GAM,CN?AC?sin?BAC，

又?GAM和?BAC同为?EAG的补角，即?GAM??BAC，

且AG?AC，?GM?CN

?S?AEG?11AE?GM?AB?CN?S?ABC。 22

由以上两例可以看出：

为了探究“一般情况”的某种不变性，可以构造或选择恰当的“特殊”，先搞清楚这一“特殊”的情况下的结论及根据，再由此获得对“一般”的认识及解决的方法。

（2）善于在情景的比较中把握知识或方法的共同点

例8 如图（1），小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上一点，且?FAE??EAD，那么EF?AE。”他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”、和“任意平行四边形”（如图（2），图（3），图（4），其他条件不变，发现仍然有“EF?AE”的结论。 A B F （1）

D

A D E

A D E B C A D E

B

F

C

E C B

（2）

F

C F （3）

（4）

你同意小明的观点吗？若同意，请结合图（4）加以说明；若不同意，请说明理由。

【观察与思考】若在图（1）中证明EF?AE，应注意利用BC的中点E的“中心对称功能”，可延长EF交AD的延长线于点G。如图（1`），由?FEC和?GED关于点E的中心对称，易得FE?GE。结合?FAE??GAE，立刻得AE?FE。

对于图（2），图（3），图（4）的情况，上述辅助线和相应的结果都有同样的保证。因此，“EF?AE”的结论也成立，且证明方法也相同。 解：（略）

D A G

【说明】在本题，尽管图形背景由特殊扩充到一般，但由于 “AE是?FAD的角平分线”，“E是CD的中点”这两个结论 E 的决定条件不变，使得结论也就具有“不变性”，即“条件本质 （1`） 的不变性”决定了“结论的不变性。”。

C B F

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