2014年中考数学高分冲刺12 几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性

关键点十二 几何图形的不变性和变化规律以及特殊条件下的特定性

关于几何图形性质方面的探究，已成为近年来各地中考试卷中带有普遍性的热点，细分起来，这样的题目 又可分为两大类：

第一类，设置变化性的图形背景，探究由变化所体现的“图形不变性”或“变化规律”。 第二类，设置附有特殊条件或特殊结论的图形背景，研究由此生产的“特定性质”。

这两类探究问题正好体现着人们扩展认识的两个基本方向：一是由特殊向一般扩充，二是向相对更为特殊的方向深入。

现在我们分别来解析与归纳这两类探究性问题应解的思考特征。

一、探究图形变化引出的不变性或变化规律

从图形变化过程来看，又分为三条途径：

Ⅰ、由“图形变换”形成变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅱ、由“特殊到一般”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律； Ⅲ、由“类比”形成的变化背景，探究其中的不变性或变化规律。

从解法的思考来说，三类题目尽管有很多一致性，但因图形变化的背景不同必然带来基本切入点的不同。

1、图形变换引出的不变性或变化规律

我们知道，图形的“轴对称”、“平移”、“旋转”这些变换，是图形运动及延伸的重要途径，研究这些“变换”中的图形的“不变性”或“变化规律”，便是既自然又现成的展开方式。对于这些起源于“变换”的探究性问题，解法的思考当然要围绕“变换”而展开，主要思考方向可有：

Ⅰ、化归到基本图形的“变换性质”；

Ⅱ、沿“变换”考查图形变化中所体现的统一性和差异性。

（1）借助于“化归到基本图形或变换性质”的思考获得解达

例1 如图（1），在?ABC中，AB?AC,CG?BA交BA的延长线于点G。一等腰直角三角尺按如图（1）所示的

摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。 F A E （1）

（2）

G

F A G B C B D C

（1）在图（1）中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系， 然后证明你的猜想。 （2）当三角尺沿AC方向平移到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D。过点D作DE?BA于点E。此时请你通过观察、测量DE,DF与CG的长度，猜想并写出DE?DF与

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CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想。

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图（3）所示的位置时，（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不说明理由）。

G

【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面

干扰，题中的图（1），图（2），图（3）对应的几何图形就是：

E A F （3）

B

D C

G F G F A G A F A E

E

B C D B C D B C

AB?ACAB?AC AB? AC ，D为BC上一点， ,D为BC上一点，

BF?CA于F，CG?BA于G DE?BA于E，DF?CA于F， DE?BA于E，DF?CA于F，

CG?BA于G。 CG?BA于G。

（1`） （2`） （3`）

它们就是我们早已熟悉的基本模式；“等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和都等于这个三角形一腰上的高”。至此，本题的解法已是显而易见，本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形中变换中的不变性”。

例2 用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转。

（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，（如图（1），通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。

（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时，（如图（2）），你在图（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。 H

A D F H B G C E （1） A D F （2）

【观察与思考】可以有两种化归的思考方法：

B C E G

方法Ⅰ、若将原图再补上两个全等的小正方形，使基本背景成为一个大正方形，如图（1`）和图（2`）。这时点D就是大正方形的中心。根据“正方形是关于中心90°旋转对称图形”（见关节四），立刻知道Rt?DCG绕点D逆时针旋转90°便与Rt?DFH重合，当然全等，即均有CG?FH，进而有BG?EH。

方法Ⅱ、原图的背景ABCEFD是由两个全等的的正方形拼成，因此，若正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°，则它与正方形CEFD重合，由?GDH?90?，可知在此过程中BG与EH重合（具体论述略）。

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H M N M N P

P

（1`） （2`）

本题的思考也是回归到“基本图形的性质”，而题目体现的也是“图形变换中的不变性”。 解：只需按如上的方法Ⅰ写出相应的三角形全等的理由即可（结论和过程略）。

例3 已知，四边形ABCD中，AB?AD,BC?CD,BA?BC,?ABC?120?,?MBN?60?，?MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E，F。

当?MBN绕B点旋转到AE?CF时，（如图（1），易证：AE?CF?EF。

当?MBN绕B点旋转到AE?CF时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。

【观察与思考】由背景BA?BC,?ABC?120?，可知BA和BC具有绕点B旋转120°的重合性，依此构造全等三角形。

解：在图（1）和图（2）中均有AE?CF?EF，理由如下；

如图（1`）和图（2`），作?FBG?60?，交DC延长线于点G（这时即有Rt?BAE绕点B顺时针旋转120°重合于Rt?BCG中， G

A B E M

B

C

F N

D

G

C

F

D

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A B

E M

B

A

B

E

M

F N

C

A D

C F N （1）

D C

F

N （2）

D

E

（3）

M A A B

E M

F N

M C

D G

N

E

（1`） （2`） （3`）

在Rt?BAE和Rt?BCG中，

?BA?BC,?ABE?120???EBC?120??(?EBF??FBC)?60???FBC??CBG。 ?Rt?BAE?Rt?BCG,?AE?CG,BE?BG。

在?BEF和?BGF中，?EBF??GBF?60?,BE?BG,BF公用。

??BEF??BGF，?EF?GF?CG?CF?AE?CF。

对于（3）的情况，有结论：EF?AE?CF。理由是：

如图（3`），作?EBG?60?,交AD于点G，与情况（1`）、（2`）类似地可证明

Rt?BAG?Rt?BCF，得AG?CF,又可有?BGE??BFE，可知EF?EG?AE?AG?AE?CF

由图（1）到图（2）体现的是“不变性”，而由图（1）到图（3），体现的却是“变换过程中的变化规律”。 由以上三个例子可以看出：

许多由图形变换引出的不变性或变化规律问题，解法思考的第一选择是将问题化归到“基本图形的变换性质”。这也进一步说明：“化归到基本”是数学思考的最基本的最重要的原则。

（2）借助于考察图形变换过程中各种形态（情况）的统一和差异性来获得解法

例4 如图，已知矩形ABCD，AB?3,BC?3,在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE,PF分别交AC于点G,H。 （1）求?PEF的边长；

（2）若等边三角形?PEF的边EF在线段BC上移动，试猜想： PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论。

P G H A D

C B E F

【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边?PEF在矩形ABCD内平移的有关问题，首先，把矩形ABCD的情况搞清楚：在已知数据的基础上易知tan?ACB?3，即 3?ACB??CAD?30?

其次，把等边?PEF在矩形ABCD内平移中的各类形态集中在图（1）中，进行观察和比较，容易看到：

第一，在特殊情况（E重合于B时），由Rt?AB(E')P'可计算出P'E'?3?2。即?PEF的边长为2。

cos30?第二，比较?PEF和?P'E'F'两种形态对应的图形情况，有PH?PA?PP'?P'A?BE?1，再比较?P''E''F''和?P'E'F'两种形态所对应的图形情况，有P''F''(H'')?P''A?P''P'?P'A?BE''?1。这就促使我们形成了对

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P' P P'' D