2015年高三第一轮复习 导数的几何意义

1．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的_________，即k＝f′(x0)．函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为_____________________． 2．导数的物理意义

物体的运动方程s＝s(t)在t＝t0处的导数，就是物体在t0时刻的______________．

3.由导数的几何意义，求切线的斜率，即是求切点处所对应的导数．因此，求曲线在某点处的切线方程，可以先求函数在该点的导数，即为曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜式形式，写出切线的方程，其步骤为：

(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；

(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 4．求曲线的切线方程需注意两点

(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(垂直于x轴此时导数不存在)时，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0；

(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．

π

注意：若在点(x0，f(x0))处切线l的倾斜角为，此时切线垂直于x轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，

2可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0. 5.导数几何意义应用的三个方面

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

f?x1?－f?x0?

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．

x1－x0

题型一.求曲线上某点处的切线方程

81

2，?，求： 例1.已知曲线y＝x3上一点P??3?3

(1) 点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．

11

?x＋Δx?3－x3333x2Δx＋3xΔx2＋Δx3113Δy1

解 (1)∵y＝x，∴y′＝lim ＝lim ＝lim ＝lim (3x2＋3xΔx＋Δx2)＝x2，

3ΔxΔx→0Δx3Δx→0Δx3Δx→0

Δx→0

y′|x＝2＝22＝4.

8

(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.

3

[说明] 求函数f(x)图象上点P处的切线方程的步骤：先求出函数在点(x0，y0)处的导数f′(x0)(即过点P的切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程．

1?1

变式.求曲线y＝在点??2，2?处的切线的斜率，并写出切线方程． x11

－x＋Δxx－1Δy11

[解析] ∵y′＝lim ＝lim ＝lim 2＝－2，∴切线的斜率k＝y′|x＝＝－4.

ΔxΔx→0Δxx2Δx→0Δx→0x＋xΔx

1

x－?，即4x＋y－4＝0. ∴切线方程为y－2＝－4??2?题型二.求切点坐标

例2.在曲线y＝x2上过哪一点的切线，

(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．

[分析] 设切点坐标为(x0，y0)，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直的条件求出切点坐标．

f?x＋Δx?－f?x??x＋Δx?2－x2[解析] f′(x)＝lim ＝lim ＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．

ΔxΔxΔx→0Δx→0(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．

39139

－，?. (2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P??24?324

1111

－，?. (3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P??24?241

变式1.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为( )

37

A.0 B.3 C.4 D.－

3

1

解析：选B ∵f(x)＝x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.

32．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为( )

A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0

解析：选A ∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为 y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.

14

3.已知曲线y＝x3＋.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．③ 求曲线过点P(2,4) 的

33切线方程.

14

解 ①∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.

33

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

4

－2，－?， ②设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x22.切点为(2,4)或?0＝4，x0＝±3??4

∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y＋＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.

3

14?142x0，x3＋③设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A?，则切线的斜率k＝y′|x＝x＝x000. 33??33134?2234

x0＋＝x0(x－x0)，即y＝x2∴切线方程为y－?·x－x＋. ∵点P?2，4?在切线上， 03??330322323222

∴4＝2x0－x30＋\\f(4,3)，即x0－3x0＋4＝0.∴x0＋x0－4x0＋4＝0.∴x0?x0＋1?－4?x0＋1??x0－1?＝0. 3∴?x0＋1??x0－2?2＝0.解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.

题型三.导数的几何意义

例3.曲线y＝x3在x0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．

ΔyΔy

[解析] 令y＝f(x)＝x3，Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝Δx3，＝Δx2，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数0，这说明割

ΔxΔxΔy

线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在x＝0处的切线存在，此时切线的斜率为0(无限趋近于0)，又曲线过点(0,0)，

Δx故切线方程为y＝0.

[说明] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所示．

1.已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( ) A．2 B．4 C．6＋6Δx2 D．6

5?

2.求抛物线y＝x2过点??2，6?的切线方程．

2?x＋Δx?3－2x3Δx3＋3xΔx2＋3x2ΔxΔy

1.[解析] ∵y＝2x，∴y′＝lim ＝lim ＝2lim ＝2lim (Δx2＋3xΔx＋3x2)＝6x2.∴

ΔxΔx→0ΔxΔxΔx→0Δx→0Δx→0

3

y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.

2.解] 设切线过抛物线上的点(x0，x20)，由导数的意义知此切线的斜率为2x0.

5?x0－62

，6和点(x0，x2又因为此切线过点?)，其斜率应满足＝2x00，∴x0－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3. 2??5

x0－

2

∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y－9＝6(x－3)；化简得：4x－y－4＝0或6x－y－9＝0.

1.设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交

π

2.下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是( )

411??11?

A.(0,0) B.(2,4) C.??4，16? D.?2，4?

3．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( ) A.－4 B.0 C.4 D.不存在

31

1，－?，则过点P的切线的倾斜角为( ) 4.已知曲线y＝x2－2上一点P?2??2A.30° B.45° C.135° D.165°

5.如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )

2

A.f′(x0)＞0 B.f′(x0)＜0 C.f′(x0)＝0 D.f′(x0)不存在

6.下列说法正确的是( )

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 7.曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为( ) A.y＝2x B.y＝2x－1 C.y＝2x＋1 D.y＝－2x

8.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( ) 11

A.1 B. C.－ D.－1

22

1

9．自由落体运动方程是s(t)＝gt2，物体在t＝2这一时刻的速度是____________．

2

14

10．已知曲线y＝x3＋，则过点P(2,4)的切线方程是________．

33

11．抛物线y＝x2在点P处的切线平行于直线y＝4x－5，则点P的坐标为________．

2

12．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线的方程．

x

1. [解析] 由导数的几何意义知，f(x)在(x0，f(x0))处切线的斜率k＝f′(x0)＝0.∴切线与x轴平行或重合． ?x0＋Δx?2－x22x0·Δx＋?Δx?2Δy0

2. [解析] f′(x)＝lim ＝lim ＝lim ＝lim (2x0＋Δx)＝2x0.

ΔxΔxΔx→0ΔxΔx→0Δx→0Δx→0π11

∵切线倾斜角为.∴函数在切点x0处的导数值为1.令2x0＝1，x0＝，∴y＝.

4243.[解析] y′|x＝0＝lim →

Δx0

Δy

＝lim (－2Δx)＝0.故选B. ΔxΔx→0

1

4. [解析] ∵y＝x2－2，∴y′＝lim

2Δx→0

?1?x＋Δx?2－2?－?1x2－2?

?2??2?

Δx1

x·Δx＋?Δx?2

2?x＋1Δx?＝x. ＝lim ＝lim 2?ΔxΔx→0Δx→0?

3

1，－?处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°∴y′|x＝1＝1.∴点P?.故选B. 2??11

5. [解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故选B.

22

6. [解析] 根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C正确．故选C.