人教版高中数学必修二 空间中直线与直线之间的位置关系公开课优质教案

又AE∥DD1，

∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交.

点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB与A1C），有时看上去像相交（如图中的DC与D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.

例2 如图11，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=

2AD，2求异面直线AD和BC所成的角.

图11

解：设G是AC中点，连接EG、FG.

因E、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG=

11BC，FG∥AD，且FG=AD.由异面直线所成22角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF为所求.

由BC=AD知EG=GF=

21AD，又EF=AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.

22点评：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.

变式训练

设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=122，CD=42，且HG·HE·sin∠EHG=123，求AB和CD所成的角.

解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，

图12

∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角. 由题意可知EFGH是平行四边形，HG=∴HG·HE·sin∠EHG=126sin∠EHG. ∴126sin∠EHG=123.

11AB?62，HE=CD?23， 22∴sin∠EHG=

2.故∠EHG=45°. 2∴AB和CD所成的角为45°. （四）知能训练

如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对____________.

图13

答案：三 （五）拓展提升

图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：

图14

①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（ ）

A.①③ B.①④ C.②③ D.③④ 答案：D （六）课堂小结

本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点. 为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理. （七）作业

课本习题2.1 A组3、4.