[推荐]人教版2020届高考数学（理）一轮复习课时作业38

f?x1?＋f?x2?＋…＋f?xn??x1＋x2＋…＋xn?

?.若y意x1，x2，…，xn，都有≤f?

nn??＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC33

的最大值是 2 .

解析：由题意知，凸函数满足

f?x1?＋f?x2?＋…＋f?xn??x1＋x2＋…＋xn?

?， ≤f?

nn??又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，

A＋B＋Cπ33

则sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin3＝2. 3

10．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的1

每条线段的末端出发再生成两条长度为原来3的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．

则n级分形图中共有 (3×2n－3) 条线段．

解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3.

11．(2019·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体

y2x2

体积相等．设由椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其42

体积等于 3πba .

解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝1?4222?

2(V圆柱－V圆锥)＝2?π×b×a－3π×ba?＝3πba.

??

12．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，OA′OB′OC′

分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一

AA′BB′CC′道平面几何题，其证明常采用“面积法”：

OA′OB′OC′S△OBCS△OCAS△OABS△ABC

＋＋＝＋＋＝＝1. AA′BB′CC′S△ABCS△ABCS△ABCS△ABC请运用类比思想，对于空间中的四面体A的结论，并用“体积法”证明．

解：如图，在四面体ABCD中任取一点O，

连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．

BCD，存在什么类似

OEOFOGOH则AE＋DF＋BG＋CH＝1.

证明：在四面体O

BCD与A

BCDBCD

BCD中，

1S·h

OEh13△BCD1VO

＝AE＝h＝1VA

Sh△BCD·3OFVO

同理有DF＝

VD

ABC

. OGVO，BG＝

VBABCOHVO

，CH＝VCACD

ACD

ABDABD

，

OEOFOGOH

∴AE＋DF＋BG＋CH ＝VO

BCD＋VOABC＋VOACD＋VO

ABD

VA

VAVA

BCDBCD

BCD

＝＝1.

13．(2019·湖南模拟)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后．天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，以此类

推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为 年( D )

A．丙酉 B．戊申 C．己申 D．己酉

解析：天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80÷10＝8，则2029年的天干为己；80÷12＝6……8，则2029年的地支为酉，故选D.

14．(2019·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( D )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

解析：若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.

15．(2016·山东卷)观察下列等式：

?π?－2?2π?－24

?sin?＋?sin?＝×1×2；

3?3?3??

?π?－2?2π?－2?3π?－2?4π?－24

?sin?＋?sin?＋?sin?＋?sin?＝×2×3；

5?5?5?3?5?????π?－2?2π?－2?3π?－2?6π?4

?sin?＋?sin?＋?sin?＋…＋?sin?－2＝×3×4；

7?7?7?3?7????

?π?－2?2π?－2?3π?－2?8π?－24

?sin?＋?sin?＋?sin?＋…＋?sin?＝×4×5；

9?9?9?3?9????

…… 照此规律，

?π?－2?2π?－2?3π?－2?2nπ?－2

sinsinsinsin??＋??＋??＋…＋??＝ ?2n＋1??2n＋1??2n＋1??2n＋1?

4n?n＋1?

. 3

?π?－2?2π?

sinsin???解析：观察前4个等式，由归纳推理可知2n＋1＋2n＋1?????

－2

?3π?－2?2nπ?－244n?n＋1?

＋?sin2n＋1?＋…＋?sin2n＋1?＝3×n×(n＋1)＝. 3????

16．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论

ax1＋ax2x1＋x2

＞a22成立．运用类比思想方法可

知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上sinx1＋sinx2x1＋x2

任意不同两点，则类似地有 ＜sin2 成立． 2

解析：对于函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点A，B，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有ax1＋ax2x1＋x2结论＞a2成立；对于函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上任2意不同的两点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，

sinx1＋sinx2x1＋x2

类比可知应有＜sin2成立． 2