1-2-3 - 几何意义及经典试题 - 题库教师版

几何意义及经典试题

中考要求

内容 绝对值

基本要求

略高要求 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 较高要求 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 例题精讲

板块一：绝对值几何意义

当x?a时，x?a?0，此时a是x?a的零点值． 零点分段讨论的一般步骤：

找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a?b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．

【例1】 （2级）m?n的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．

⑴ x的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x x?0（>，?，<）； ⑵ 2?1的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则2?1? ； ⑶ x?3的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若x?3?1，则 x? ．

⑷ x?2的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若x?2?2，则 x? ．

⑸ 当x??1时，则x?2?x?2? ．

【解析】 ⑴ x，原点；?；⑵1；⑶x，3，2或4；⑷x，?2，0或?4；⑸4．

【例2】 （4级）已知m是实数，求m?m?1?m?2的最小值

【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m，使点m到点0，点1和点2的距

离之和最小，显然当m?1时，原式的最小值为2

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【例3】 （4级）已知m是实数，求m?2?m?4?m?6?m?8的最小值

【解析】 根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m，使m到点2，点4，点6和点8的

距离和最小，显然当点m在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8

【例4】 （6级）设a1，，且a1?a2?a3?...?an，m是任意实数，试探a2，a3，...an是常数（n是大于1的整数）

索求m?a1?m?a2?m?a3?...?m?an的最小值的一般方法

【解析】 根据题意，结合数轴，不难得到：

⑴当n为奇数时，即当n?2k?1（k为正整数）时，点m应取在点ak?1处，原式的值最小，最小值为?a2k?1?a1???a2k?a2??...??ak?2?ak?

⑵当n为偶数2k（k是正整数）时，m应取点ak和点ak?1之间的任意位置，原式的值最小，最小值为?a2k?a1???a2k?1?a2??...??ak?1?ak?

【例5】 （8级）x?1?x?2?x?1?x?2??x?2009的最小值为 ．

?x?2009取到最小值：

?1005?2009

?x?a2n?1取得最小值．

【解析】 当x?1005时，x?1?x?2??x?2009?1005?1?1005?2??1004?1003?点评：若a1?a2?若a1?a2??1?0?1??1003?1004?(1004?1)?1004?1009020

?x?a2n取得最小值．

?a2n?1，当x?an?1时，x?a1?x?a2??a2n，当x满足an≤x≤an?1时，x?a1?x?a2?

【巩固】 （8级）试求x?1?x?2?x?3?...?x?2005的值

【解析】 联想到绝对值的几何意义：x?xn即表示数轴上数x的对应点与数xn的对应点的距离，把这些绝对

值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现x?1?x?2，当1≤x≤2时，它有最小值1，对于x?1?x?2?x?3，当x?2时，最小值为2，…猜想当x?1003时，原式有最小值 最小值为?x?1?x?2?x?3?...?x?2005

?1003?1?1003?2?1003?3?...?1003?2005 ?1002?1001?1000?...?2?1?0?1?2?...?1002

1002??1002?1? ?2??1005006

2

【巩固】 （6级）(2000年郑州市中考题)设a?b?c，求当x取何值时x?a?x?b?x?c的最小值． 【解析】 x?a?x?b?x?c实际表示x到a，，画图可知当x?b时，原式有最小值为c?a． bc三点的距离和，

【巩固】 （6级）（2009年全国初中数学联赛四川初赛试卷）若x1、x2、x3、x4、x5、x6是6个不同的正整

数，取值于1，2，3，4，5，6，记S?|x1?x2|?|x2?x3|?|x3?x4|?|x4?x5|?x5?x6?|x6?x1|，则S的最小值是 ．

【解析】 利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：

利用绝对值的几何意义|x1?x2|?|x2?x3|?|x3?x4|?|x4?x5|?x5?x6?|x6?x1|在数轴上表示出来，从x1开始又回到x1，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．

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【例6】 （6级）（选讲）正数a使得关于x的代数式x?1?x?6?2x?a的最小值是8，那么a的值

为 ．

【解析】 如果a≤6，那么当x?a时，x?1?x?6?2x?a?a?1?a?6?(a?1)?(6?a)?7，

小于8与已知条件矛盾．所以a?6，那么算式x?1?x?6?2x?a的几何意义是点x到?1、6、a、a的4个距离之和，当6≤x≤a时取最小值，因此令x?6可得7?26?a?8，解得a?13． 2

【巩固】 （6级）（第七届“走进美妙的数学花园”）x?1?8x?2?ax?3?2x?4的最小值为12，则a的

取值范围是 ．

【解析】 最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为14?2a、5?a、12、19?a，故12是这四个数

中最小的，即14?2a≥12且5?a≥12且19?a≥12，所以a≥7．

【例7】 （6级）（第18届希望杯培训试题）

已知代数式x?3?x?7?4，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．

A． 1，x，5 B． 2，x，5 C． 3，x，5 D． 3，x，4

【解析】 根据x?3?x?7?4可得3?x?7，所以选择C．

【巩固】 （6级）⑴是否存在有理数x，使x?1?x?3?2？

?4?14？如果存在，求出所有整数x，如果不存在，⑵是否存在整数x，使x?4?x?3?x?3?x请说明理由

【解析】 ⑴不存在

⑵x??3，x??2，x??1，x?0

【巩固】 （6级）（第17届希望杯培训试题）不等式x?1?x?2?7的整数解有 个．

【解析】 可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，x?1?x?2?7的整数解表示数轴上到?1和

2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有?2、?1、0、1、2、3共六个．

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【例8】 （8级）一共有多少个整数x适合不等式x?2000?x?9999. 【解析】 零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑：

（1）当x?2000时，原不等式变形为：x?2000?x?9999， 进而得：x?5999.5，即2000?x?5999.5，共有4000个整数适合；

（2）当0?x?2000时，原不等式变形为：2000?x?x?9999，而2000?9999恒成立， 所以又有2000个整数适合.

（3）当x?0时，原不等式变形为2000?x?(?x)?9999，x??3999.5， 即?3999.5?x?0，共有3999个整数适合.

综上所得共有9999个整数适合不等式x?2000?x?9999.

【例9】 （8级）已知x≤1，y≤1，设M?x?1?y?1?2y?x?4，求M的最大值和最小值 【解析】 由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号

因为x≤1，所以?1≤x≤1，所以0≤x?1≤2，同理可得0≤y?1≤2 因为y≤1，所以?1≤y≤1，所以?2≤2y≤2⑴

因为x≤1，所以?1≤x≤1，所以?1≤?x≤1，所以?1?4≤?x?4≤1?4 即?5≤?x?4≤?3⑵

⑴与⑵同向相加得?7≤2y?x?4≤?1 化简M的表达式：M?2x?y?6 求M的取值范围：

因为?1≤y≤1，所以?2≤2x≤2 因为?1≤y≤1，所以?1≤?y≤1 所以?3≤2x?y≤3 所以3≤2x?y?6≤9

当x?1，y??1时，M最大值为9 当x??1，y?1时，M最小值为3

【例10】 （8级）(第12届希望杯试题)彼此不等的有理数a，，bc在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果

a?b?b?c?a?c，那么A，B，C的位置关系是_____．

【解析】 由绝对值的几何意义知, a?b表示点A与点B之间的距离；b?c表示点B与点C之间的距离；表

示点A与点C之间的距离；当点B位于点A与点C之间（包括A，C两点）时,a?b?b?c取得最小值，为a?c．由题设知，a，b，c相等，以A，B，C不重合，故点B位于点A与点C之间(包括A,C两点)．

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