初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)

3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点

．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），∴

，

；

解得；

∴抛物线的解析式为：

；

（2）易知抛物线的对称轴是x=4， 把x=4代入y=2x，得y=8， ∴点D的坐标为（4，8）；

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8； 连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M； 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4， ∴cos∠MDF=； ∴∠MDF=60°， ∴∠EDF=120°； ∴劣弧EF的长为：

；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b； ∵直线AC经过点∴解得

， ；

；

，PG交直线AC于N，

，

，

∴直线AC的解析式为：设点

则点N坐标为

∵S△PNA：S△GNA=PN：GN；

∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN； 即

=

；

解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）； 当m=﹣3时，∴此时点P的坐标为

=；

；

②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN； 即

=

；

解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）； 当m=﹣12时，∴此时点P的坐标为综上所述，当点P坐标为AC分成1：2两部分．

=；

或

时，△PGA的面积被直线

；

4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；

（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0）， 将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c， 得解得：

∴抛物线的函数表达式为答：抛物线的函数表达式为

． ．

（2）由，

可得，抛物线的对称轴为直线x=1，

且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，

连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求． ∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB

作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为．

答：MO+MA的最小值为

．

（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称， 由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB． ②若OA∥BP，

设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．

设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4， ∴直线BP的表达式为y=2x﹣4 由

，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）

当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB． ③若AB∥OP，

设直线AB的表达式为y=kx+m，则解得

，∴AB的表达式为y=x﹣2．

，

∵AB∥OP，

∴直线OP的表达式为y=x． 由

，得 x2=0，解得x=0，

（不合题意，舍去），此时点P不存在．

综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12） 使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形． 答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）．