2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型压轴题（一）理

压轴题(一)

x2y2

12．设P为双曲线2－2＝1右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，c，e分

ab→→

别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF1·PF2＝0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆的半径为( )

A．a C．c 答案 A

→→

解析 因为PF1·PF2＝0，所以△AF1P是直角三角形．设△AF1P的内切圆的半径是r，则2r＝|PF1|＋|PA|－|AF1|＝|PF1|＋|PA|－|AF2|＝|PF1|－(|AF2|－|PA|)＝|PF1|－|PF2|＝2a.所以r＝a.

16．(2019·湘赣十四校联考二)已知函数f(x)＝sinx＋2cosx的图象向右平移φ个单位长度得到g(x)＝2sinx＋cosx的图象，若x＝φ为h(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴，则a＝________.

4答案 3

255

解析 由题意，得f(x)＝5sin(x＋α)，其中sinα＝，cosα＝.g(x)＝5sin(x55＋β)，其中sinβ＝

525

，cosβ＝， 55

B．b D．e

∴α－φ＝β＋2kπ，即φ＝α－β－2kπ，

3

∴sinφ＝sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，

54

cosφ＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，

5又x＝φ是h(x)＝sinx＋acosx的一条对称轴， 342

∴h(φ)＝sinφ＋acosφ＝＋a＝±1＋a，

554即a＝. 3

12

20．已知函数f(x)＝(x＋2aln x)．

2

12

(1)讨论f(x)＝(x＋2aln x)，x∈(1，e)的单调性；

2

(2)若存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0成立，求a的取值范围．

- 1 -

12

解 (1)由f(x)＝(x＋2aln x)，得

2

ax2＋af′(x)＝x＋＝(x>0)，

xx当a≥0时，f′(x)>0恒成立， 所以f(x)在(1，e)上单调递增；

当a<0时，f′(x)＝0的解为x＝－a(舍负)，

若－a≤1，即a∈[－1,0)，则f(x)在(1，e)上单调递增； 若－a≥e，即a∈(－∞，－e]， 则f(x)在(1，e)上单调递减；

若a∈(－e，－1)，则f(x)在(1，－a)上单调递减，在[－a，e)上单调递增． (2)由(1)可知，当a≤－e或a≥－1时，函数f(x)在(1，e)上为单调函数，此时不存在

2

2

2

x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.

当a∈(－e，－1)时，f(x)在(1，－a]上单调递减，在[－a，e)上单调递增，所以

2

f(x)在x＝－a处取得极小值，

f(x)极小值＝f(－a)＝(－a＋2aln －a)＝－a＋aln (－a)，其中a∈(－e2，－1)，

112

令g(a)＝－a＋aln (－a)，a∈(－e，－1)，

221111

则g′(a)＝－＋ln (－a)＋＝ln (－a)，

2222

1

2

12

12

a∈(－e2，－1)，

所以g′(a)>0，所以g(a)在(－e，－1)上单调递增， e

且g(－e)＝0，g(－e)＝－<0，

2

2

2

2

所以当a∈(－e，－e)时，f(x)极小值<0，此时存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝

2

f(x2)<0.

21．某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．

(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？ (2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂．设每片芯片不合格的概率为

p(0

- 2 -

①若某盒12片芯片中恰有3片次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；

②若以①中的p0作为p的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片最终利润X(单位：元)的期望．

3

解 (1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A，则P(A)＝C921

C3＝.

1255答：该盒芯片经一次检验即可出厂的概率为21

55.

(2)①某盒12片芯片中恰有3片次品的概率

f(p)＝C339

12p(1－p)

＝

13?27C?3?4??12

12?

， 当且仅当3p＝1－p，即p＝1

4时取“＝”号，

故f(p)的最大值点p1

0＝4.

②由题设，知p＝p1

0＝4

.

设这盒芯片不合格品的个数为n， 则n～B???12，14???， 故E(n)＝12×1

4

＝3，

则E(X)＝120－12－30－3×2＝72. 所以这盒芯片最终利润X的期望是72元．

- 3 -