（教师典型例题专讲）2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月4日）

【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11

月4日）

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．

1．函数y＝f(x)的图象在点x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )

A．1 C．0

B．2 1D. 2

解析 由题意知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故f(5)＋f′(5)＝2.故选B. 答案 B

2．函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )

解析 x<0时，f(x)为增函数，所以导函数在x<0时大于零；x>0时，原函数先增后减再增，所以导函数先大于零再小于零之后又大于零．故选D.

答案 D

3．(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )

A．?x∈R，f(x)≤f(x0) B．－x0是f(－x)的极小值点

1

C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点

解析 y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，由x0是f(x)的极大值点，得－x0

是－f(－x)的极小值点．

答案 D

4．(理)(2013·浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e－1)(x－1)(k＝1,2)，则( )

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

解析 当k＝1时，f(x)＝(e－1)(x－1)，f′(x)＝xe－1，x＝1不是f′(x)＝0的根，所以不是极值点，排除A，B；当k＝2时，f(x)＝(e－1)(x－1)，f′(x)＝(x－1)(xe＋e－2)，当x＝1时，f′(x)＝0且x>1时，f′(x)>0.结合选项，故选C.

答案 C

4．(文)(2013·浙江卷)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )

x2

xkxxxx

解析 在(－1,0)上，f′(x)单调递增，所以f(x)图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f′(x)单调递减，所以f(x)图象的切线斜率呈递减趋势．故选B.

答案 B

5．(理)(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速25度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶

1＋t的距离(单位：m)是( )

2

A．1＋25ln5 C．4＋25ln5

11

B．8＋25ln

3D．4＋50ln2

25

解析 汽车以速度v(t)＝7－3t＋行使到停止，故令v(t)＝0，解得t＝4或t＝－

1＋t25?328??(舍)，从而S＝?4v(t)dt＝?4?7－3t＋dt＝?7t－t＋25ln?1＋t?23????

0

0

＋

?| 4＝7×4－3

?0

2?

×4＋25ln5＝4＋25ln5，所以选C.

答案 C

12

5．(文)(2013·辽宁卷)函数y＝x－lnx的单调递减区间为( )

2

2

A．(－1,1] C．[1，＋∞)

121x－1

解析 y＝x－lnx，y′＝x－＝＝2xx令y′≤0，得0

2

B．(0,1] D．(0，＋∞)

－

x

＋

(x>0)．

6．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a

A．af(b)≤bf(a) C．af(a)≤f(b)

解析 设F(x)＝故F(x)＝

x

，则F′(x)＝

B．bf(a)≤af(b) D．bf(b)≤f(a)

－x

2

≤0，

x

为减函数． ≥

?af(b)≤bf(a)，故选A.

由0

ab

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e)＝x＋e，则f′(1)＝________.

1x

解析 令t＝e>0，f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝x＋lnx(x>0)，f′(x)＝1＋，于是f′(1)

x＝2.

答案 2

x

x

3

8．函数f(x)＝x－3ax＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．

解析 f′(x)＝3x－3a＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－a

当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数递增，

∴f(－a)＝－a＋3a＋a>0，且f(a)＝a－3a＋a<0，解得a>答案 ?

3

3

3

3

2

2

32

2. 2

?2?

，＋∞? ?2?

2

2

9．若点P是曲线y＝x－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 解析 过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x－lnx相切． 12

设P(x0，x0－lnx0)，则有k＝y′|x＝x0＝2x0－.

x011

∴2x0－＝1.∴x0＝1或x0＝－(舍去)．

x02|1－1－2|

∴P(1,1)，∴d＝＝2.

1＋1答案

2

三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f(x)＝4x＋3tx－6tx＋t－1，x∈R，其中t∈R. (1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)t≠0时，求f(x)的单调区间．

解 (1)当t＝1时，f(x)＝4x＋3x－6x，f(0)＝0，f′(x)＝12x＋6x－6，f′(0)＝－6，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－6x.

(2)f′(x)＝12x＋6tx－6t. 令f′(x)＝0，解得x＝－t或x＝. 2因为t≠0，以下分两种情况讨论：

①若t<0，则<－t.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

2

2

2

3

2

2

3

2

2

ttx f′(x) f(x) ?－∞，t? ?2???＋ ?t，－t? ?2???－ ↘ (－t，＋∞) ＋ ??(－t，??所以，f(x)的单调递增区间是?－∞，?，＋∞)；f(x)的单调递减区间是?，－t?. 2???2?

4

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