小波分析理论及实际应用举例 - 图文

小波变换

合肥工业大学理学院 二零零七年秋季

第1讲 数学预备

1.1 线性空间

三维向量空间R中的点可以用从原点指向该点的向量来表示。

1.1.1 定义 集合E称为一个实(复)线性空间，如果在E上定义了两种运算： 一个是“+”法，使得对E中的x、y和z，都有

（1） x + y = y + x;

（2） x + (y + z) = (x + y) + z;

（3） E存在零元素?，即? + x = x;

（4） 每个E的元素x有逆元素-x，使x + (-x) = ?；

另一个是数乘，使得对E中的x、y和实(复)数?、?，都有 （1） ?(?x) = (??)x; （2） 1x = x, 0x = ?;

（3） (? + ?)x = ?x + ?x; （4） ?(x + y) = ?x + ?y.

例如：设Rn为n维实向数的全体，按通常的向量加法和数乘构成线性空间。

例如，有界数列的全体组成的空间l? ={x: supi|xi| < ?, x = (x1, x2, …)}，按类似通常的向量加法和数乘构成线性空间。

例如：设C[a,b]为[a,b]上所有连续函数的全体，按通常的函数运算定义加法和数乘构成线性空间。

例如：Lp[a,b]，p>1，为[a,b]上所有p可积函数的全体，即满足

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?ba|x(t)|pdt??。可以根据

下列公式，证明Lp[a,b]按通常的函数加法和数乘构成线性空间。 1.1.2 H?lder不等式

设1/p + 1/q = 1, p>1,x(t)属于Lp[a,b], 和y(t)属于Lq[a,b]。则x(t)y(t)属于L[a,b]，且

??|x(t)|?|x(t)y(t)|dt???aabbpdt???1/p???a|y(t)|dt????qb1/q

证明：可以假设不等式的右边的两个因子都不等于零。否则，x(t)或y(t)几乎处处等于零，

从而不等式的左边也几乎处处为零，显然不等式成立。1/p + 1/q = 1意味着p + q = pq，(p-1)(q-1)=1。令y = xp-1，那么x = y1/(p-1) = yq-1。假设A > 0, B > 0. B ABABp-1 1p1qp?1q?1y=xAB?ydx?xdy?xdx?ydy?A?B. ?0?0?0?0pq0 A 1

令A(t)?x(t)p???a|x|dt????b1/p，B(t)?y(t)q???a|y|dt????b1/q。

那么

?baA(t)pdt?1和?B(t)qdt?1。

ab1111A(t)p?B(t)q，两边积分后，?A(t)B(t)dt???1（此式称为

apqpqb由于A(t)B(t)?Young不等式）。代入A(t)B(t)的表达式，即得证明。? 1.1.3 Minkowski不等式

设p?1,x(t)和y(t)属于Lp[a,b]。则x(t)+y(t)属于Lp[a,b]，且

bp???a|x(t)?y(t)|dt????1/pb????|x(t)|pdt???a?1/pb????|y(t)|pdt???a?1/p

证明：p = 1显然。设p > 1。

(x+y)p ? (2max{|x|, |y|})p ? 2p(|x|p + |y|p)，所以x+y属于Lp[a,b].

因为(x+y)p属于L[a,b]，所以(x+y)p/q属于Lq[a,b]。应用H?lder不等式，得到

pp/qp/qp/q|x?y|dt?|x?y||x?y|dt?|x||x?y|dt?|y||x?y|dt ????aaaab????|x|pdt???a?1/pbp???a|x?y|dt????1/qb????|y|pdt???a?1/pbp???a|x?y|dt????1/qbbbb

1/q??bp?1/p?bp?1/p??bp???|x|dt????|y|dt??|x?y|dt?， ??????aaa????????因此，

bp???a|x?y|dt????1/pb????|x?y|pdt???a?1?1/qb????|x|pdt???a?1/pb????|y|pdt???a?1/p.?

根据Minkovski不等式，Lp[a,b]，p ? 1，按通常的函数的加法和数乘构成线性空间。 1.1.4

p

级数形式的H?lder不等式和Minkowski不等式

记l，p ? 1，为满足

?xk??[a,b]上所有数列x = (x1,x2,x3,…)的全体。特别记l1为 l。

k?11/p?p设数p > 1和数q满足1/p + 1/q = 1。设x属于lp 和y属于lq。则xy属于l，且

??p?xkyk???xk??k?1?k?1????q???yk??k?1?1/q

事实上，当上式右边等于零时，数列x或者数列y等于零数列，所以左边也等于零，即上述不等式成立。因此，可以设右边的两个因子都不等于零。所以有n使得

?xkk?1np?0和

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?k?1nyk?0。取Ak?qxk????|xi|p??i?1?1/qn1/p和Bk?yk????|yi|q??i?1?n1/q，根据Young不等式，有

xkyk????|xi|p??i?1?nn1/p????|yi|q??i?1?n1?pxkni?1p?|x|ip1?qxkni?1q，

qi?|y|所以，

????|xi|??i?1?即

nnk?11/pp?|xykk|1/q????|yi|q??i?1?n?11??1 pq?np?xy?|x|????kkik?1?i?1?1/p?n???|yi|q??i?1?1/q??????|xi|p??i?1?1/p?????|yi|q??i?1?1/q，

因为此式右边是一个数或无穷大，且对任何n成立，所以让左边的n趋向无穷大时不等式仍

成立：

??p?xy?|x|????kkik?1?i?1??1/p?????|yi|q??i?1?1/q。

类似于积分形式的Minkowski不等式，可以证明：设数p ? 1，x和y属于lp。则x+y属于l，

且

??p???xk?yk??k?1?1/p??p????xk??k?1?1/p??p????yk??k?1?1/p

根据Minkovski不等式，lp，p ? 1，按通常的数列的加法和数乘构成线性空间。

1.2 距离空间

1.2.1 定义 设X表示一个非空集合。如果对于X中的任何两个元素x和y, 都有一个实数

?(x,y)与之相对应，而且满足以下三条性质：（距离公理） （1）?(x,y) ? 0，当且仅当x = y时等号成立；（正定性） （2）?(x,y) = ?(y,x);（对称性）

（3）对于X中的任何三个元素x、y和z, 成立?(x,z) ? ?(x,y) + ?(y,z),（三角不等式） 则称?(x,y)为x和y间的距离，称X为距离空间，记为（X，?）。距离空间中的元素称为点。

距离实际上是一个映射?：X?X?R+

例子 例如：设X=R，即实数的全体。距离?:R?R?R定义为

?(x,y)?|x?y|。

满足距离公理。其中，我们利用了绝对值的三角不等式：|x - z| ? |x - y| + |y - z| 在同一个集合R上，距离又可以定义为

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?(x,y)?|x?y|。

1?|x?y|可以证明它也满足距离公理。事实上，正定性和对称性是显然的；由于函数t/(1+t)当t ? 0时是单调增加的，又由于绝对值的三角不等式，所以

?(x,z)?|x?z||x?y|?|y?z||x?y||y?z|???1?|x?z|1?|x?y|?|y?z|1?|x?y|?|y?z|1?|x?y|?|y?z|

?|x?y||y?z|???(x,y)??(y,z).

1?|x?y|1?|y?z|n

这个距离的大小是有界的。一般地，在集合R上定义距离是?(x,y)??|xi?1ni?yi|，其中

x?(x1,x2,...,xn,)，容易证明它满足距离公理。

例如：设C[a,b]的距离是?(x,y)?maxa?t?b|x(t)?y(t)|，满足距离公理。

bp例如：设L[a,b]（p>1）的距离是?(x,y)????a|x(t)?y(t)|dt????p

1/p，满足距离公理。

但是，距离空间不必是附加上距离的线性空间。

1.2.2 定义 设（X，?）是距离空间，x1,x2,…,是X中的点列，x?X。如果当n??时?(xn,x) ?0，

那么称点列{xn}按距离?收敛于x。x为xn的极限。记为

limn??xn?x

或 xn?x, n??。

“当n??时?(xn,x) ?0”的含义是：对任意给定的? > 0，总存在着数N，使得对所有的n > N，?(xn,x) < ?。注意：由于?是任意的，所以?(xn,x) ?0。点列的极限定义并没有给出求极限的方法。

? 完备性

极限的定义并没有给出极限的求法。在工程上的一种实用的方法是依此计算点列x1, x2, x3,…,xn，并逐次计算?(xn,xn-1)，如果?(xn,xn-1)不大于某个事先给定的误差? > 0，则计算停止，而且用xn作为极限的近似值。这样的作法有其根据，也有不足之处。现在我们从数学的角度来考虑这个问题。

1.2.5 定义 设（X，?）是距离空间，x1,x2,…,是X中的点列。如果对任给的? > 0，存在数N，使得对所有的m, n > N，?(xn,xm) < ?，那么称点列{xn}为基本点列，又叫作Cauchy点列。 例如方程x2 = 2有有理数的近似解序列1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, …。容易看出这是一个基本点列。但是其极限点不是有理数。所以，在有理数范围内，这个序列是不收敛的。这说明基本点列未必是收敛的。但是，可以证明：距离空间中收敛点列一定是Cauchy点列。事实上，当n??时?(xn,x) ?0，即对任给的? > 0，存在数N，使得对所有的n > N，?(xn,x) < ?/2。当m >N时?(xm,x) < ?/2。因此，?(xn,xm) ? ?(xn,x)+ ?(x,xm) < ?。基本点列是否收敛的问题与距离空间的定义有关系。

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