2021年中考数学总复习：第14讲 几何初步、相交线、平行线

【解答】解：∵AC：BC＝3：2， ∴设AC＝3x，BC＝2x， ∴AB＝5x，

∵点M是AB的中点，点N是BC的中点， ∴BM＝2.5x，BN＝x， ∴MN＝BM﹣BN＝1.5x＝3， ∴x＝2， ∴AB＝10cm．

【考点2 角及角平分线】

【解题技巧】1.度、分、秒的加减运算：在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．

2.度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．

3.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．

注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．

【例2】（2019浙江宁波中考模拟）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )

A．20° B．30° C．45° D．50°

【答案】D．

【分析】由平行线的性质得∠2＝∠ABC＋∠1，再用角的和差计算即可． 【解析】∵m∥n ∴∠2＝∠ABC＋∠1 ∴∠2＝30°＋20° ∴∠2＝50° 故选：50°．

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【举一反三2-1】（2019 河北石家庄中考模拟）（改成选择题）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，求∠2的度数．

【分析】先根据补角的定义求出∠BAD的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠1＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°﹣∠1 ＝180°﹣90°﹣30° ＝60°， ∵EF∥AD，

∴∠2＝∠BAD＝60°．

【举一反三2-2】（2019 河北沧州中考模拟）一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？

【分析】先根据余角的定义列出一个方程，然后求解． 【解答】设这个角为x.

由题意，得180°－x－24°＝3(90°－x)， 解得x＝57°.

答：这个角的度数为57°.

【举一反三2-3】（2019 山东青岛中考模拟）如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE，试说明：EF是∠AED的平分线．

【分析】结合角的平分线定义，运用平行线的判定证明EF∥BD，从而有∠AEF＝∠ABD，根据平行线的性质及等量代换可得∠AEF＝∠DEF，即EF是∠AED的平分线． 【解答】证明：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC.

∵ED∥BC，∴∠BDE＝∠DBC. ∴∠ABD＝∠BDE.

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∵∠FED＝∠BDE， ∴EF∥BD，∠ABD＝∠FED. ∴∠AEF＝∠ABD. ∴∠AEF＝∠FED. ∴EF是∠AED的平分线． 【考点3 相交、垂线及其性质】

【解题技巧】1.垂线段的性质：垂线段最短．

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

2.实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．

3.点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．

【例3】（2019 河北唐山中考模拟）如图所示，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数（ ）．

A．45° 【答案】

【分析】先根据补角的定义求出∠BAD的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠1＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°﹣∠1 ＝180°﹣90°﹣30° ＝60°， ∵EF∥AD，

∴∠2＝∠BAD＝60°． 故选：B．

【举一反三3-1】（2019 山东淄博中考模拟）（填空题）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCB＝35°，求∠ACB的度数；

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B．60° C．50° D．30°

（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数．

【分析】（1）根据角的和差关系可直接得到∠ACB＝90°+35°＝125°； （2）首先计算出∠BCD的度数，然后再根据∠ABCE＝90°可得∠ECD的度数． 【解答】解：（1）∵∠ACD＝90°，∠DCB＝35°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB ＝90°+35° ＝125°，

（2）∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD ＝140°﹣90° ＝50°， 又∵∠ECB＝90° ∴∠ECD＝∠ECB﹣∠DCB ＝90°﹣50° ＝40°．

【举一反三3-2】（2019 河北沧州中考模拟）（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E＝∠ABE+∠CDE．

（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．

（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠

ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．

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