2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测：(十五)空间几何体与空间位置关系

的斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，结合②知③正确；由①知④不正确．故选B.

12.如图，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E-ABCD的外接球的表面积为( )

A.16π

3

B．8π D．64π

C．16π

解析：选C 由题知△EAB为等边三角形，设球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，则△OGA为直角三角形，OG＝1，AG＝3，所以R＝4，所以多面体E-ABCD的外接球的表面积为4πR＝16π.

2

2

13．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m； ②m∥α； ③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________.

解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，

由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直； 由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α； 由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m. 故正确的命题是②③?①或①③?②.

答案：若m∥α且l⊥α，则l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α) 14.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，

AB＝2，则四棱锥B-ACC1D的体积为________．

解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC， 所以BO⊥平面ACC1D. 因为AB＝2，所以BO＝3.

因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2， 1

所以S梯形ACC1D＝×(2＋4)×2＝6，

2

1

所以四棱锥B-ACC1D的体积为×6×3＝23.

3答案：23

15．在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且上的动点，则三棱锥M-PBC的体积为________．

解析：因为

BP1

＝，点M为线段B1C1PD12

BP11

＝，所以点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的，即三棱PD123D1C1

19

＝1.M为线段B1C1上的动点，所以S△MBC＝×3×3＝，所以VM-PBC＝VP-MBC322

锥P-MBC的高h＝193

＝××1＝. 322

3答案： 2

16．(2020届高三·广东七校联考)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．

解析：由题意知，球内切于四棱锥P-ABCD时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为

O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，则VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD，即

111?2?×2a×2a×2a＝×?4a＋2××2a×2a＋2××2a×22a?×r，解得r＝(2－2)a. 223??

答案：(2－2)a

B级

1．(2019·沈阳质量监测(一))如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )

A．8 C．16

2

1

3

8B. 3D.16 3

解析：选D 设球的半径为R，由题知4πR＝16π，则R＝2，再设大圆内的矩形长、宽分别为x，y，由题知x＋y＝16，则矩形面积xy≤

2

2

x2＋y2

2

＝8，当且仅当x＝y时上式取等

号，即底面为正方形时，底面面积最大．四棱锥P-ABCD的高的最大值为2，故四棱锥P-ABCD116

体积的最大值为×8×2＝，选D.

33

2．(2019·合肥第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )

A．2对 C．4对

B．3对 D．5对

解析：选C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥S-ABCD，平面SCD⊥平面ABCD.因为AD⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面

SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD.又由三视图知SC⊥SD，同时由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D，所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对，故选C.

3．(2019·沈阳质量监测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

①BD∥平面CB1D1； ②AC1⊥平面CB1D1；

③异面直线AC与A1B成60°角； ④AC1与底面ABCD所成角的正切值是2.

解析：对于①，BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，①正确；对于②，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，连接A1C1，又A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，∴AC1⊥平面CB1D1，②正确；对于③，易知AC∥A1C1，异面直线

AC与A1B所成的角为∠BA1C1，连接BC1，又△A1C1B为等边三角形，∴∠BA1C1＝60°，异面直

线AC与A1B成60°角，③正确；对于④，AC1与底面ABCD所成的角的正切值是≠2，故④不正确．故正确的结论为①②③.

答案：①②③

4．已知在正四棱锥S-ABCD中，SA＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．

解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥S-ABCD中，SA1223222

＝63，所以＋h＝108，即a＝216－2h，所以正四棱锥的体积VS-ABCD＝ah＝72h－h，

233

CC112

＝＝AC22

a2

232

令y＝72h－h，则y′＝72－2h，令y′>0，得06，所以当该棱锥

3的体积最大时，它的高为6.

答案：6

5．已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A-BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是________．

解析：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，

连接AO1，O1D，OD，O1E，OE， 2

则O1D＝3sin 60°×＝3，

3

AO1＝AD2－DO21＝3，

在Rt△OO1D中，R＝3＋(3－R)，解得R＝2， ∵BD＝3BE，∴DE＝2，

在△DEO1中，O1E＝3＋4－2×3×2cos 30°＝1， ∴OE＝O1E＋OO1＝2，

过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小， 此时截面圆的半径为2－?2?＝2，面积为2π. 答案：2π

2

2

2

22

2