2014 - 201学年第一学期数学必修5数列月考题

陕科大附中2014—2015学年高二第一学期月考一数学试题

时间：120分钟 满分：150分 命题：史雪燕

一、选择题(5×10＝50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．数列－3,7，－11,15…的通项公式可能是( ) A．an＝4n－7 B．an＝(－1)n(4n＋1) C．an＝(－1)n(4n－1) D．an＝(－1)n＋1·(4n－1)

2．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( ) A．1 B. 2 C . 3 D．4

3．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( ) A．30° B．60° C．90° D．120°

4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )

A．1.14a B．1.15a

C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)

5．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于( ) A．58 B．88 C．143 D．176 6．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ) A．81 B．120 C．168 D．192

7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于( ) A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是( )

A．－2 B．－3 C．－4

D．－6

1111

9．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )

24816

1111A.(n2＋n＋2)－n B.n(n＋1)＋1－n－1 22221111C.(n2－n＋2)－n D.n(n＋1)＋2(1－n) 2222

10．已知等比数列{an}的公比q<0，若a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则数列{an}的前2010项的和等于( )

A．2010 B．－1 C．1

D．0

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 014，则序号n＝________.

12．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.

13．在a和b之间插入n个数，使它们成等差数列，则公差d＝________. 5

14．在数列{an}中，an＝4n－2，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，n∈N＋，其中，a、b为常数，则ab＝________.

15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则其通项an＝________， 三、解答题(共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(12分)在等差数列{an}中，a4＝10，a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}

前20项的和S20.

17．(12分)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.

(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及Sn的最大值．

18．(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn.

19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，a3＝5，S10＝100. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2n＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.

20(13分)．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.

21. (14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝

1

(n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn，

n?an＋3?

a

t

（3）是否存在t，使得对任意的n均有Sn>36总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．

答案

一．选择题

1. C ；2. C ； 3. B ；4. D；5. B ； 6. B； 7. C； 8. C； 9.A； 10. D； 3n－1n－1

672. a＝4·() 13.. 14. -1 15. a＝2nn二．填空题：11.12. 2三．解答题

16.解

设等差数列{an}的公差为d，

则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d. ∵a3，a6，a10成等比数列，∴a2a10. 6＝a3·即(10＋2d)2＝(10－d)(10＋6d)，得d＝0或d＝1. 当d＝0时，a1＝a4－3d＝10，S20＝200；

20×19

当d＝1时，a1＝a4－3d＝7，S20＝20a1＋d＝330.

217.解 (1)由已知a3＝5，a10＝－9得，

?a1＋2d＝5，?a1＝9，??? 得? ??a＋9d＝－9，d＝－2.?1?

∴an＝a1＋(n－1)d＝11－2n.

n?n－1?(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25.

2∴当n＝5时，Sn取得最大值且最大值为25．

18.解 (1)由题意得，a1＋a1＋a1q＝2(a1＋a1q＋a1q2)，又a1≠0， 1

故2q2＋q＝0，又q≠0，∴q＝－2. ?1?(2)由已知可得，a1－a1?－2?2＝3，故a1＝4.

????1?n?4?1－?－2??????8??1??

?1－?－2?n?. ∴Sn＝＝3?????1?

1－?－2?

??

19.解 (1)设等差数列{an}的公差为d，

a＋2d＝5，???1?a1＝1，

由题意，得?解得? 10×9

?d＝2，?10a＋d＝100，?2?1

所以an＝2n－1.

1

(2)因为bn＝2an＋2n＝×4n＋2n，

2所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn

1

＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n) 24n1－4222＝＋n＋n＝×4n＋n2＋n－.

633

＋

20.解 (1)设数列{an}的公比为q，

由题意知：2(a3＋2)＝a2＋a4， ∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0. ∴q＝2，即an＝2·2n1＝2n.

－

(2)bn＝n·2n，

∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①

2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n1.②

＋

①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n1

＋

＝－2－(n－1)·2n1.

＋

∴Sn＝2＋(n－1)·2n1.

＋

21.解 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，

整理得2a1d＝d2.∵d>0，∴d＝2. ∵a1＝1.∴an＝2n－1 (n∈N＋)． 11111(2)bn＝＝＝?n－n＋1?，

?n?an＋3?2n?n＋1?2?∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn

11??1111

1－?＋?－?＋…＋?n－＝??2??2??23??n＋1?? 1?1?n1－＝＝. 2?n＋1?2?n＋1?

t

（3）假设存在整数t满足Sn>总成立，

36

n＋1n1

又Sn＋1－Sn＝－＝>0，

2?n＋2?2?n＋1?2?n＋2??n＋1?∴数列{Sn}是单调递增的．

1t1

∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.

4364又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.