信阳市2013~2014学年度高中毕业班第二次调研考试详解答案理科数学

信阳市2013~2014学年度高中毕业班第二次调研考试 数学试题参考答案(理科)

1．D 因为

UA＝{x|x≤1

或x≥4}，所以(UA)∩B＝{1，4，5}．

1＋i－（1＋i）2

2．B 依题意z＝＝＝－i，∴z＝i.

2i－13．C 圆心(0，0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝

1136

.则r2＝(|AB|)2＋d2＝，r＝.

2222

4．B 函数f(x)的定义域为x≠0，当x>0时，f(x)＝－ln x2＝－2ln x，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(－x)＝－ln (－x)2＝－ln x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，因而f(x)在(－∞，0)上单调递增．

5．C 由题意可得n(12－n)＞0，∴0＜n＜12，∴a2＝n，b2＝12－n，c2＝a2＋b2＝12，∴双曲线的离心率e＝＝c12

an＝3，∴n＝4.

55

6．B 设中间一组的频数为x，则其他8组的频数和为x，所以x＋x＝140，解得x

22

＝40.

7．D 不等式组表示的区域如图阴影部分，由z＝x－y得y＝x－z，可知直线的截距最大时，z取得最小值，过点A（3，5）时，z取最小值－2.

8．A ∵在△ABC中，sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，

又∵sin A≤1，∴sin A＝1，A＝90°，∴可得△ABC为直角三角形；但当△ABC为直角三角形时，A不一定为90°，∴选A.

11111

9．C 由题意，令x＝0时，a0＝1；令x＝时，a0＋a1()＋a2()2＋?＋a2014()2014＝(1－23)2014

22222＝0，

a1a2a2014∴＋2＋?＋2014＝0－a0＝－1. 222

10．D S＝0，i＝1→S＝1，i＝2→S＝－1，i＝3→S＝2，i＝4→S＝－2，i＝5→S＝3，i＝6→S＝

－3，i＝7→S＝4，i＝8→S＝－4，i＝9→S＝5，i＝10→S＝－5，i＝11.

11.A 设圆心为C，则C(0，4)，半径r＝1，设抛物线的焦点F(1，0)，由抛物线的定义知，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线距离之和为|PQ|＋|PF|≥|PC|－1＋|PF|＝|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝17－1.

12．B 令a＝b＝1，则可得f(1)＝0，令a＝3，b＝3n1(n≥2)，则有f(3n)＝3f(3n1)＋3n1f(3)．又f(3)

－

f（3n）f（3n1）

＝3，∴－＝1，即{an}是公差为1的等差数列，且可得f(3n)＝n·3n，∴数列{bn}是公比n－13n3

为3的等比数列，即C、D正确．又令a＝－11，b＝－1，可得f(－1)＝0，再令a＝x，b＝－1，可得 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴A正确．

－

－

－

【数学试卷2参考答案 第1页 (共6页)理科】 214-12-103C2

2π2a·b－51

13.π cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a、b的夹角为. 3|a||b|53223

14．0.6 P(X＜4)＝0.8，则P(X＞4)＝0.2，又分布图象关于直线x＝2对称， P(X＜0)＝P(X＞4)＝0.2，则P(0＜X＜4)＝0.6.

252

15．± f(x)＝2sin x－5cos x＝3sin(x－φ)(sin φ＝，cos φ＝)，因为x＝θ为函数对称轴，所

333以θ－φ＝kπ＋2

以sin θ＝±. 3

11x－1

16．(－∞，－1] 由题意知f(x)min≥g(x)min，f′(x)＝－2＝2，当x∈(0，1)时f′(x)<0，当x∈(1，

xxx11

2]时f′(x)>0，所以f(x)在x＝1处取最小值1，当x>a时，g(x)＝x＋＝(x－a)＋＋a≥2＋a，所以

x－ax－a1≥2＋a，a≤－1.

17．解：(Ⅰ)设∠ABC＝γ，由三角形ABC为直角三角形可得β＋γ＝又因为AB＝AD，所以∠ABC＝∠ADB，所以γ＝α＋β，代入β＋γ＝π

所以α＝－2β，所以sin α＝cos 2β.（6分）

2(Ⅱ)在△ADC中，由正弦定理得

DCAC

＝， sin αsin（α＋β）

π. 2

?cos φ，k为偶数πππ

，k∈Z，则θ＝kπ＋＋φ，所以sin θ＝sin(kπ＋＋φ)＝?，所222?－cos φ，k为奇数

ππ

得α＋2β＝， 22

DC3DC

代入AC＝3DC得＝，整理得sin(α＋β)＝3sin α，

sin αsin（α＋β）又因为α＋2β＝

πππ

，所以可得α＋β＝－β，所以sin(α＋β)＝sin(－β)＝cos β＝3sin α. 222

33

或－(舍去)， 23

由(1)得sin α＝cos 2β， cos β＝3cos 2β，根据二倍角公式可得cos β＝∵0＜β＜

ππ3

，∴cos β＝?β＝.（12分） 226

2

18．解：(Ⅰ)当n＝1时，得λa21＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0，∵a1≠0，∴a1＝λ，

22

当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，两式相减得an＝2an－1，所以数列{an}是等比数列，通项

λλ公式为an＝a1q

n－1

2n

＝.(6分) λ

【数学试卷2参考答案 第2页 (共6页)理科】 214-12-103C2

1

(Ⅱ)当λ＝1000时，令bn＝lg，所以bn＝3－nlg 2，所以数列{bn}是递减的等差数列，公差为－lg 2.

an10001000

则b1>b2>?>b9＝lg9＝lg>lg 1＝0.

251210001000

当n≥10时，bn≤b10＝lg10＝lg

210241

故数列{lg}的前9项和最大．(12分)

an

19．解：(Ⅰ)2013年该居民区PM2.5年平均浓度为

7.530.1＋22.530.2＋37.530.3＋52.530.2＋67.530.1＋82.530.1＝42(微克/立方米)．

因为42＞35，所以2013年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(6分)

9

(Ⅱ)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)＝.

109

随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，)，

109k93－k

所以P(X＝k)＝Ck(k＝0，1，2，3)， 3 (10)(1－10)所以变量X的分布列为

X P 0 1 10001 27 10002 243 10003 729 10009

E(X)＝031＋1327＋23243+33729＝2.7(天)或E(X)＝np＝33＝2.7(天).(12分)

10

1000100010001000c3

＝，?a2

20．解：(Ⅰ)由?（2分）

ab＝2，?a＝b＋c，

2

2

2

?a＝2，x22得?所以椭圆方程为＋y＝1.（4分）

4?b＝1，

x22

(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设直线PQ的方程为x＝my＋t，代入＋y＝1得(m2＋4)y2＋2mty＋t2

4－4＝0，（5分）

?Δ＞0，?t－4

yy＝

?m＋4，y1＋y2＝－

2

12

22mt

，m2＋4

【数学试卷2参考答案 第3页 (共6页)理科】 214-12-103C2

y1（x2－2）y1y2k1k1＝，k2＝，由＝7得＝7，

k2x1＋2x2－2y2（x1＋2）

x21（1－）（x2－2）22

4y2（x－2）12所以2＝49，所以＝49，（7分）

x2y2（x1＋2）222

（1－）（x1＋2）

4得

（2－x1）（2－x2）

＝49，得12x1x2＋25(x1＋x2)＋48＝0， ①

（2＋x1）（2＋x2）

4（t2－m2）

x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝，

m2＋4x1＋x2＝(my1＋t)＋(my2＋t)＝

8t

， m＋4

238

代入①得6t2＋25t＋24＝0，得t＝－，或t＝－(是增根，舍去)，（9分）

23

??

所以?7

－4

yy＝??m＋4，y1＋y2＝

12

22

3m

，m2＋4

（10分）

16m2＋281211216

所以|y1－y2|＝(y1＋y2)－4y1y2＝)＋1632＝－36(2－)2＋≤22＝－36(29（m＋4）m＋4m＋4m＋49

2

161

，当m2＝时取最大值. 92

1

所以S1－S2＝333|y1－y2|≤2，所以S1－S2的最大值为2.（12分）

221．解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， （x＋1）（ax－1）1

f′(x)＝－ax＋1－a＝－，

xx当a≤0时，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

111

当a>0时，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈(0，)时，f′(x)>0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0.

aaa11

所以在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．(4分)

aa

11

(Ⅱ)设函数g(x)＝f(＋x)－f(－x)，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax.

aaaa2a3x21

g′(x)＝＋－2a＝22.当00，而g(0)＝0， a1＋ax1－ax1－ax111

所以g(x)>0.故当0

aaa

【数学试卷2参考答案 第4页 (共6页)理科】 214-12-103C2