2021高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质练习

π?πωπ＋2π??π?当x∈?0，?时，ωx＋∈?，?，

105?5?10??

ωπ＋2ππ?π?若f(x)在?0，?单调递增，则<，即ω<3， 102?10?

1229

因为≤ω<，故③正确.

510答案：①③④

10．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

?π?(2)讨论函数f(x)在?0，?上的单调性．

2??

π??解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin?ωx－?，

4??且T＝π，所以ω＝2， π??所以f(x)＝2sin?2x－?.

4??

ππkπ3π

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．

4228即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝

kπ3π

2＋8

(k∈Z)．

πππ

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

242

π3π??得函数f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

88??

?π?注意到x∈?0，?，所以令k＝0，

2??

?π??3π?得函数f(x)在?0，?上的单调递增区间为?0，?， 2?8???

同理，其单调递减区间为?

?3π，π?.

2??8?

[B级 能力提升]

π?ππ?11．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间?，?单调递增的是( )

2?42?A．f(x)＝|cos 2x| C．f(x)＝cos |x|

B．f(x)＝|sin 2x| D．f(x)＝sin |x|

π?ππ?解析：作出f(x)＝|cos 2x|的图象，由图象知f(x)＝|cos 2x|的周期T＝，在?，?2?42?

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上递增，A正确．又f(x)＝|sin 2x|在?

?π，π?上是减函数，B错误．且f(x)＝cos |x|＝cos

??42?

x，周期T＝2π，f(x)＝sin |x|不是周期函数，所以C、D均不正确．

答案：A

ππ

12．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ωx－)(ω>0)．若f(x)≤f()对任意的实数

64

x都成立，则ω的最小值为________．

π

解析：因为f(x)≤f()对任意的实数x都成立，

4π

所以当x＝时，f(x)取得最大值，

4πππ

即f()＝cos(ω－)＝1，

446ππ

所以ω－＝2kπ，k∈Z，

462

所以ω＝8k＋，k∈Z.

3

2

因为ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值.

32答案：

3

12

13．已知函数f(x)＝(2cos x－1)·sin 2x＋cos 4x.

2(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；

2π?απ?(2)若α∈(0，π)，且f ?－?＝，求tan(α＋)的值．

3?48?212

解：(1)f(x)＝(2cos x－1)sin 2x＋cos 4x

21

＝cos 2xsin 2x＋cos 4x

21

＝(sin 4x＋cos 4x) 2＝

π?2?

sin?4x＋?，

4?2?

2ππ

＝. 42

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所以f(x)的最小正周期T＝

ππ3π

令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，

242得

kππ

kπ5π

＋≤x≤＋，k∈Z. 216216

所以f(x)的单调递减区间为?

?kπ＋π，kπ＋5π?(k∈Z)．

?16??2162

π?2?απ??(2)因为f ?－?＝，即sin?α－?＝1.

4??48?2?ππ3π

因为α∈(0，π)，所以－<α－<，

444ππ3π

所以α－＝，故α＝. 424

3ππ

tan ＋tan

43－1＋3π??所以tan?α＋?＝＝＝2－3.

3?3ππ1＋3?

1－tan tan

43

[C级 素养升华]

14．(多选题)(2019·全国卷Ⅰ改编)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论，其中正确的结论是( )

A．f(x)是偶函数

?π?B．f(x)在区间?，π?单调递增

?2?

C．f(x)在[－π，π]有4个零点 D．f(x)的最大值为2

解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin

x|＝f(x)，故f(x)是偶函数，A正确；

?π?当x∈?，π?时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x单调递减，B不正确；

?2?

当x∈[0，π]时，sin x≥0，f(x)＝2sin x有两个零点，当x∈[－π，0)时，f(x)＝－2sin x仅有一个零点，故C不正确；

当x≥0时，f(x)＝sin x＋|sin x|，其最大值为2，又f(x)是R上的偶函数，故f(x)在R上的最大值为2，D正确．

综上A，D正确，B，C不正确． 答案：AD

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