2021高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质练习

第4节 三角函数的图象与性质

[A级 基础巩固]

cos 2x－1

1．(多选题)已知函数f(x)＝，则有( )

sin 2xπ

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

2

?π?B．函数f(x)的图象关于点?，0?对称 ?2?

π

C．函数f(x)的最小正周期为

2

?π?D．函数f(x)在?0，?内单调递减

2??

cos 2x－1－2sinx解析：f(x)＝＝＝－tan x(x≠kπ，k∈Z)

sin 2x2sin xcos x2

?π??π?所以f(x)的图象关于点?，0?对称，在?0，?上单调递减，

2??2??

且f(x)的最小正周期T＝π，因此B、D正确． 答案：BD

2．(2020·临沂市联考)已知函数f(x)＝2sin ωx－cos ωx(ω>0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为( )

A.

10

2

B．－

10 2

C．2 D．－2

2ππ

解析：依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，即ω＝，所以f(1)

ω2ππ

＝2sin －cos ＝2.

22

答案：C

?π?3．(2019·湖南三湘名校教育联盟联考)若f(x)为偶函数，且在?0，?上满足：对任意

2??

f（x1）－f（x2）

x10，则f(x)可以为( )

x1－x2

?5π?A．f(x)＝cos?x＋?

2??

C．f(x)＝－tan x

B．f(x)＝|sin(π＋x)| D．f(x)＝1－2cos 2x

2

?5π?解析：因为f(x)＝cos?x＋?＝－sin x为奇函数，所以排除A；f(x)＝－tan x为奇

2??

- 1 -

函数，所以排除C；f(x)＝1－2cos 2x＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为?

2

?kπ，kπ＋π?，

?24??2

k∈Z，排除D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sin x|为偶函数，且在?0，?上单调递增．

2

??

π?

?

答案：B

4．(多选题)同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝

π

对称；③在3

?－π，π?上是增函数”的函数为( ) ?63???

?xπ?A．y＝sin?＋?

?26?

π??C．y＝cos?2x＋? 6??

2π??B．y＝cos?2x－?

3??π??D．y＝sin?2x－? 6??

π

时，y＝3

解析：根据性质①最小正周期是π，排除选项A；对于选项C，当x＝5π3?ππ?cos?2×＋?＝cos ＝－，不是最值，所以排除选项C.

36?62?

2??易知y＝cos?2x－π?具有性质①，②，③.

3??

2?π?π?2?????且y＝sin?2x－?＝sin??2x－π?＋?＝cos?2x－π?.

3?2?6?3?????所以选项B、D均满足性质①，②，③. 答案：BD

?ππ?5．(多选题)已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间?－，?上恰有一个

?43?

最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值可以是( )

8A. 3C.10 3

B．3 D．4

π?π?解析：由题意，函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx＝2sin?ωx＋?，令ωx＋＝t，所6?6?以f(t)＝2sin t.

?ππ?在区间上?－，?恰有一个最大值点和最小值点，则函数f(t)＝2sin t恰有一个最

?43??πω＋π，πω＋π?上．

大值点和一个最小值点在区间?－

4636???

- 2 -

3ππωππ－<－＋≤－，??2462则?

ππωπ3π??2≤3＋6<2，820??≤ω<，

3 解得?3

??1≤ω<4，

8

所以≤ω<4，只有D项不满足要求．

3答案：ABC

6．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为

g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g??＝2，则f ??＝( )

?4??8?

A．－2 C.2

B．－2 D．2

?π??3π?解析：因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|＜π，所以φ＝0.

?1?由题意得g(x)＝Asin?ωx?，且g(x)最小正周期为2π，

?2?

1

所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，

2π2?π?所以g??＝Asin ＝A＝2，所以A＝2. 42?4?所以f(x)＝2sin 2x，所以f ?答案：C

7．函数y＝lg(sin x)＋ 解析：要使函数有意义， sin x>0，sin x>0，????

则?即?11

cos x－≥0，cos x≥，??22??2kπ

－＋2kπ≤x≤＋2kπ（k∈Z），?3?3π

所以2kπ

3

- 3 -

?3π?＝2.

??8?

1

cos x－的定义域为________．

2

π

所以函数的定义域为{x|2kπ

3π

答案：{x|2kπ

3

32

8．函数f(x)＝sin x＋3cos x－的最大值是________，此时自变量取值的集合是

4________．

33?2?

解析：f(x)＝1－cosx＋3cos x－＝－?cos x－?＋1，

42??

2

当cos x＝

3

时，f(x)取到最大值1， 2

π

此时x＝2kπ±，k∈Z.

6

??π?? x|x＝2kπ±，k∈Z答案：1

6??

π

9．(2019·全国卷Ⅲ改编)设函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有

5且仅有5个零点，下述四个结论：

①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点； ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；

?π?③f(x)在?0，?单调递增； ?10??1229?④ω的取值范围是?，?. ?510?

其中所有正确结论的编号是________．

π?π?π

解析：当x∈[0，2π]时，ωx＋∈?，2πω＋?.

5?5?5

π

因为f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，所以5π≤2πω＋<6π，

5

?1229?所以ω∈?，?，故④正确． ?510?

π??π

y＝sin t在?，2ωπ＋?上极值点的个数即为f(x)在[0，2π]上极值点的个数．

?55?

ππ??，2ωπ＋由y＝sin t在?上的图象(图略)可知f(x)在[0，2π]有且仅有3个极大

5??5?值点，有2个或3个极小值点，故①正确，②错误．

下面判断③是否正确，

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