北京市昌平区2020届高三数学下学期第二次统一练习(二模)试题 含答案

所以X的分布列为 X P

0 5 281 15 282 15 563 1 56所以X的期望E(X)?0?5151519?1??2??3??. ………….11分 282856568（III）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5,6). (19)（本小题满分15分）

??c?5,?解：（Ⅰ）由题意得??a5a?5,?2b?4,解得??b?2, ??a2?b2?c2,?c?1.???即椭圆的方程为x25?y24?1． （Ⅱ）法一

由题意，直线l的斜率存在. 当k?0时，直线l的方程为y?1.

代入椭圆方程有x??152. 则C(?152,1),D(152,1). 所以k?2?1AC?15??615,k?2?16AD?15?. 2?152 所以k?6AC?kAD?15?615??125. 当k?0时，则直线l的方程为y?kx?1． ?y?kx?1,由??x2y2，得(4?5k2)x2?10kx?15?0. ??5?4?1 设C(x1,y1)，D(x2,y2)，

9

…14分

…………….3分

…………….5分 …………….8分

…………….9分

则x1?x2??10k15． …………10分 ,xx??124?5k24?5k2又A(0,?2)， 所以kAC?y1?2y?2，kAD?2. …………….11分 x1x2y1?2y2?2(kx1?3)(kx2?3) g?x1x2x1x2因为kAC?kAD?k2x1x2?3k(x1?x2)?93k(x1?x2)?9? ?k2?x1x2x1x2?k2?3k(?10k)?9?30k2?36?45k21224?5k2?k???.

?15?1554?5k2即直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值． …………….15分 法二

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?kx?1． …………….6分

?y?kx?1,?由?x2y2，得(4?5k2)x2?10kx?15?0. …………….7分

?1??4?5设C(x1,y1)，D(x2,y2)， 则x1?x2??10k15． …………….9分 ,xx??12224?5k4?5k又A(0,?2)， 所以kAC?y1?2y?2，kAD?2. …………….11分 x1x2y1?2y2?2(kx1?3)(kx2?3) g?x1x2x1x2因为kAC?kAD?k2x1x2?3k(x1?x2)?93k(x1?x2)?9? ?k2?x1x2x1x2?k2?3k(?10k)?92?30k2?36?45k21224?5k?k???. ?15?1554?5k2即直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值． …………….15分

10

(20)（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?213x?x?1. 3 因为f'(x)?x?1， …………….1分

所以f'(0)??1. …………….2分 所以曲线y?f(x)在点(0，1)处的切线方程为x?y?1?0. …………….4分 （II）定义域为R.

因为f'(x)?x?a,a?R. ①当a?0时，f'(x)?0恒成立.

所以函数y?f(x)在(-?,+?)上单调递增. …………….5分 ②当a?0时，f'(x)?0恒成立.

所以函数y?f(x)在(-?,+?)上单调递增. …………….6分 ③当a?0时，令f'(x)?0，则x??a或x?所以当f'(x)?0时，x??a或x? 当f'(x)?0时，?a?x?2a. …………….7分

a；

a. …………….8分

（a，??)上单调递增， 所以函数y?f(x)在(??,?a)和

在(?a,a)上单调递减. …………….9分 综上可知，当a?0时，函数y?f(x)在(-?,+?)上单调递增；

（a，??)上单调递增， 当a?0时，函数y?f(x)在(??,?a)和

在(?a,a)上单调递减.

（III）法一：由（Ⅱ）可知，

（1）当a?0时，函数y?f(x)在(-?,+?)上单调递增； 所以当x?(0,2)时，fmin(x)?f(0)?a. 因为?|1?a|=?(1?a)?a?1，

11

所以f(x)??|1?a|. …………….10分

（a，??)上单调递增， （2）当a?0时，函数y?f(x)在(??,?a)和

在(?a,a)上单调递减.

①当0?a?1，即0?a?1时，?|1?a|?0.

所以当x?(0,2)时，

（a，2)上单调递增， 函数y?f(x)在(0,a)上单调递减，

fmin(x)?f(a)

1?(a)3?aa+a 32 ?a(?a+1)?0

3 所以f(x)??|1?a|. …………….11分 ②当1?a?2，即1?a?4时，?|1?a|=1?a?0.

由上可知fmin(x)?f(a)?a(? 因为a(?2a?1)， 322aaa?1)?(1?a)?2a??1， 332xx?1,(1?x?4). 3x?0，

设g(x)?2x? 因为g'(x)?2? 所以g(x)在(1,4)上单调递增. 所以g(x)?g(1)?1?0. 3 所以a(?22aaa?1)?(1?a)?2a??1?0 33 所以f(x)??|1?a|. …………….13分 ③当a?2，即a?4时，?|1?a|=1?a?0. 因为函数y?f(x)在(0,a)上单调递减，

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