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北京市昌平区2020届高三下学期第二次统一练习（二模）
数学试题
（满分150分，考试时间 120分钟）2020.6
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A?x?2?x?1,B???2,?1,0,1,2?，则集合AIB?
（A）{0} （B）{?1，0} （C）{0,1} （D）{?1,0,1}
??，2)，则实数a? （2）在复平面内，复数i(i?a)对应的点的坐标为(?1（A）1 （B）?1 （C）2 （D）?2
（3）在?x?2?的展开式中，x2的系数为
（A）?40 （B） 40 （C）?80 （D）80
（4）已知向量a?(t,1)，b?(1,2).若a?b，则实数t的值为
（A）?2 （B）2 （C）?
（5）设a?2,b?()0.3511 （D） 2212?0.5,c?ln2，则
（A）c?b?a （B）c?a?b （C）a?b?c （D）b?a?c
（6）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
（A）4 （B）8 （C）26 （D）46
1
2主视图222左视图俯视图y2?1的一条渐近线y?kx(k?0)上一点，F是双曲线C（7）已知点P是双曲线C:x?42的右焦点，若△OPF的面积为5，则点P的横坐标为 ．
（A）?5 （B）5 （C）?25 （D）25
π2π（8）已知函数f(x)?sin?x(??0)，则“函数f(x)在[,]上单调递增”是“0???2”的
63（A）充分而不必要条件
（9）点P在函数y?ex的图象上.若满足到直线y?x?a的距离为2的点P有且仅有3个，
则实数a的值为
（A）22 （B）23 （C）3 （D）4
（10）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画
╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为
题号 学生 甲 乙 丙 丁 1 ╳ ╳ √ ╳ √ ╳ ╳ √ ╳ √ ╳ ╳ √ √ ╳ √ ╳ √ √ √ ╳ ╳ √ ╳ √ ╳ √ √ ╳ √ ╳ √ 30 25 25 m 2 3 4 5 6 7 8 得分 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（A）35 （B）30 （C）25 （D）20
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11) 已知a?1，则a+4的最小值为_________ . a?1（12）设?an?是等差数列，且a1?3，an?1?an?2，则数列?an?的前n项和Sn? ． （13）已知点M在抛物线y?4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则
点M到其顶点O的距离为__ .
2
2（14） 在平面直角坐标系xOy中，角?与角?均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，
点M(x,?1)在角?的终边上.若sin??（15）曲线C:
1， 则sin??________ ；x?_____ . 3(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?3,点P在曲线C上．给出下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[?2,2]； ③若A(?1,0),B(1,0)，则存在点P,使△PAB的面积大于其中，所有正确结论的序号是________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题14分）
在?ABC中，3acosB?bsinA. （Ⅰ）求?B；
（Ⅱ）若b?2，c?2a,求?ABC的面积.
(17)（本小题14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，PA?AD?CD?2，BC?3，
3. 2PC?23，E为PB中点，________ ，求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.
从①CD?BC；②BC//平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完
P成解答；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
3
EADCB（18）（本小题14分）
为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在
[2,3)，[3,4)，[4,5)，L，[8,9)，[9,10)（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布
直方图（如图）.
频率/组距 0.32 a0.18 0.1
0.050.03 0.02 02345678910小时/天
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天
居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学
习和锻炼身体的总时间在[2,3)和[8,9）的人中任选3人，求其中在[8,9)的人数X的分布列和数学期望；
（III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100
名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论） （19）（本小题15分）
x2y25已知椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆M与y轴交于A,B两点(A在
5ab下方)，且|AB|?4．过点G(0,1)的直线l与椭圆M交于C,D两点（不与A重合）． （Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）证明：直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．
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