2019-2020学年福建省龙岩市新罗区九年级(上)期末数学试卷 解析版

【解答】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC，

∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF为矩形， ∵AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＝AF，

∴矩形AEGF是正方形；

（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3， 设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x， 则BG＝EG﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，

在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52， 解得：x＝6或﹣1（舍去）． ∴AD＝x＝6；

23．如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CD＝BD，E、F是线段AC、AB的延长线上的点，并且EF与⊙O相切于点D． （1）求证：∠A＝2∠BDF；

（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．

【分析】（1）连接AD，如图，先证明

＝

得到∠1＝∠2，再根据圆周角定理得到∠

ADB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥EF，然后证明∠1＝∠4得到结论；

（2）连接BC交OD于F，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据垂径定理，

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由＝得到OD⊥BC，则CF＝BF，所以OF＝AC＝，从而得到DF＝1，然后证

明四边形CEDF为矩形得CE＝1． 【解答】（1）证明：连接AD，如图， ∵CD＝BD， ∴

＝

，

∴∠1＝∠2， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠1+∠ABD＝90°， ∵EF为切线， ∴OD⊥EF， ∴∠3+∠4＝90°， ∵OD＝OB， ∴∠3＝∠OBD， ∴∠1＝∠4， ∴∠A＝2∠BDF；

（2）解：连接BC交OD于F，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵

＝

，

∴OD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴OF＝AC＝， ∴DF＝﹣＝1， 易得四边形CEDF为矩形， ∴CE＝DF＝1．

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24．若边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′，记旋转角为a． （I）如图1，当a＝60°时，求点C经过的弧

的长度和线段AC扫过的扇形面积；

（Ⅱ）如图2，当a＝45°时，BC与D′C′的交点为E，求线段D′E的长度； （Ⅲ）如图3，在旋转过程中，若F为线段CB′的中点，求线段DF长度的取值范围．

【分析】（Ⅰ）根据正方形的性质得到AD＝CD＝6，∠D＝90°，由勾股定理得到AC＝6

，根据弧长的计算公式和扇形的面积公式即可得到结论；

（Ⅱ）连接BC′，根据题意得到B在对角线AC′上，根据勾股定理得到AC′＝

＝6

得到C′E＝

BC′＝12﹣6

，求得BC′＝6

﹣6，推出△BC′E是等腰直角三角形，

，于是得到结论；

（Ⅲ）如图3，连接DB，AC相交于点O，则O是DB的中点，根据三角形中位线定理得到FO＝AB′＝3，推出F在以O为圆心，3为半径的圆上运动，于是得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∴AC＝6

，

∵边长为6的正方形ABCD绕点A顺时针旋转，得正方形AB′C′D′， ∴∠CAC′＝60°， ∴

的长度＝

＝2

π，线段AC扫过的扇形面积＝

＝12π；

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（Ⅱ）解：连接BC′，

∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°， ∴B在对角线AC′上， ∵B′C′＝AB′＝6， 在Rt△AB′C′中，AC′＝＝6

，

∴BC′＝6

﹣6，

∵∠C′BE＝180°﹣∠ABC＝90°，∠BC′E＝90°﹣45°＝45°，∴△BC′E是等腰直角三角形， ∴C′E＝

BC′＝12﹣6

，

∴D′E＝C′D′﹣EC′＝6﹣（12﹣6

）＝6

﹣6；

（Ⅲ）如图3，连接DB，AC相交于点O， 则O是DB的中点， ∵F为线段BC′的中点， ∴FO＝AB′＝3，

∴F在以O为圆心，3为半径的圆上运动， ∵DO＝3

，

∴DF最大值为3

+3，DF的最小值为3

﹣3， ∴DF长的取值范围为3

﹣3≤DF≤3

+3．

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