高考数学一轮复习板块命题点专练十二直线与圆的方程含解析

板块命题点专练（十二）直线与圆的方程

命题点一 直线的方程、两条直线的位置关系

1．(2013·天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)＋y＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )

1

A．－

2C．2

B．1 1 D． 2

2

2

解析：选C 由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以

2－0

＝a，解得a＝2. 2－1

2．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

2

2

解析：选C 由题知点P(cos θ，sin θ)是单位圆x＋y＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．

又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离

21＋m2

的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最

大值为3.

3．(2016·上海高考)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离为________．

解析：因为l1∥l2，

|－1－1|25所以两直线的距离d＝＝.

5525

答案：

5

命题点二 圆的方程、直线与圆的位置关系

1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A．(x－1)＋(y－1)＝1 C．(x＋1)＋(y＋1)＝2 解析：选D 圆的半径r＝标准方程为(x－1)＋(y－1)＝2.

1

2

2

2

2

2

2

B．(x＋1)＋(y＋1)＝1 D．(x－1)＋(y－1)＝2 －

22

2

22

＋－

2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的

2．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )

5A. 3C.25

3

B.21 3

4 D. 3

解析：选B ∵A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，∴AB＝BC＝AC＝2，△ABC为等边三角

?23?

形，故△ABC的外接圆圆心是△ABC的中心，又等边△ABC的高为3，故中心为?1，?，

3??

故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为1＋?

21?23?2

?＝3. ?3?

2

2

3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过

A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.

解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－3y＋6＝0， ∴kAB＝

3

，∴∠BPD＝30°， 3

从而∠BDP＝60°. 在Rt△BOD中，

∵|OB|＝23，∴|OD|＝2.

取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB， ∴OH为直角梯形ABDC的中位线， ∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4. 答案：4

4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的―→―→

点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD＝0，则点A的橫坐标为________．

解析：法一：设A(a,2a)，则a＞0.

又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0. 由题意知C?

??x－由?

?y＝2x，???x＝1，解得?

?y＝2?

?a＋5，a?.

?

?2?

x－a＋yy－2a＝0，

??x＝a，

或?

?y＝2a.?

∴D(1,2)．

2

―→―→―→

又AB·CD＝0，AB＝(5－a，－2a)， ―→?a＋5

，2－a?CD＝?1－?， 2??∴(5－a，－2a)·?1－又∵a＞0，∴a＝3.

法二：如图，∵AB为圆C的直径，∴AD⊥BD， ∴BD为B到直线l的距离， 且BD＝

105＝25.

??

a＋5

5215

，2－a?＝a－5a－＝0，解得a＝3或a＝－1. ?22?2

∵CD＝AC＝BC，CD⊥AB， ∴AB＝2BD＝210， 设A(a,2a)，a＞0， 则AB＝

－a2

＋4a＝210，

2

解得a＝－1或a＝3. 又∵a＞0，∴a＝3. 答案：3

5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x＋y－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．

解析：圆C：x＋y－2ay－2＝0化为标准方程为x＋(y－a)＝a＋2，

所以圆心C(0，a)，半径r＝a＋2，因为|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a，即x－y|0－a＋2a||a|?23?2?|a|?222

＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得??＋??＝a＋2，解得a＝2，

?2??2?22所以r＝2，所以圆C的面积为π×2＝4π.

答案：4π

6．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x―→―→2

＋y＝50上．若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．

―→―→

解析：设P(x，y)，则PA·PB＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.

又x＋y＝50，所以2x－y＋5≤0，

所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)． 又点P在圆x＋y＝50上， 由?

?y＝2x＋5，?

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

??x＋y＝50，

解得x＝－5或x＝1，

3

结合图象，可得－52≤x≤1，

故点P的横坐标的取值范围是[－52，1]． 答案：[－52，1]

7．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，

164则该圆的标准方程为________．

解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)＋y＝r(0＜m＜4，r＞0)，

2

2

2

x2y2

??m＋4＝r，则?22

?－m＝r，?

22

??

解得?25

r＝??4.

m＝，

2

3

2

?3?2225

所以圆的标准方程为?x－?＋y＝.

4?2??3?2225

答案：?x－?＋y＝

4?2?

8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.

解析：由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离|3m－3|

为d＝.

m2＋1

由|AB|＝23得?解得m＝－

3. 3

3π，所以直线l的倾斜角α＝. 36

2

2

?3m－3?2

?＋(3)2＝12， 2?m＋1?

又直线l 的斜率为－m＝

π

画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.6在Rt△CDE中，可得|CD|＝

|AB|2

＝23×＝4. π3cos 6

答案：4

9．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆

2

M是以线段AB为直径的圆．

4