专题 - 定积分及其应用

个极限值与区间[a,b]的分法及点?i的取法无关），则称函数f(x)在[a,b]上可积，并称这个极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作?f(x)dx，即

ab

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi .

??0i?1n其中，“f(x)”称为被积函数，“f(x)dx”称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间.

根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为： ①曲边梯形的面积A是曲线y?f(x)在区间[a,b]上的定积分.

A??f(x)dx(f(x)?0).

ab②变速直线运动的物体所走过的路程S等于速度函数v?v(t)在时间间隔

[T1,T2]上的定积分.

S??v(t)dt.

T1T2关于定积分的定义作以下几点说明：

⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.

⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间[a,b]，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有?f(x)dx??f(t)dt.

aabb⑶在定积分的定义中，有a?b，为了今后计算方便，我们规定：

?容易得到

5.1.3定积分的几何意义

abf(x)dx???f(x)dx.

ab?aaf(x)dx?0.

设f(x)是?a,b?上的连续函数，由曲线y?f(x)及直线x?a,x?b,y?0所围

5

成的

曲边梯形的面积记为A.由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：

（1）当f(x)?0时，?f(x)dx?A

ab（2）当f(x)?0时，?f(x)dx??A

ab（3）如果f(x)在?a,b?上有时取正值，有时取负值时，那么以?a,b?为底边，以曲线

y?f(x)为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x轴的上方或

下方.这时

定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有

?baf(x)dx?A1?A2?A3

其中A1,A2,A3分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.

例5.1.1 利用定积分的几何意义，证明?1?11?x2dx??2.

证 令y?1?x2,x?[?1,1] ，显然

y?0，

则由y?1?x2和直线x??1,x?1，y?0

6

所围成的曲边梯形是单位圆位于x轴上方的半圆. 如图5.4所示.因为单位圆的面积A??，

所以 半圆的面积为

?. 2由定积分的几何意义知：

?

1?11?x2dx??2 .

5.1.4定积分的性质

由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.

性质5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即

?bakf(x)dx?k?f(x)dx.

ab性质5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即

?a?f(x)?g(x)?dx??af(x)dx??ag(x)dx.

这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点c，有

bbb?均成立.

baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.

accb注意 c的任意性意味着不论c是在[a,b]之内，还是c在[a,b]之外，这一性质性质5.1.4如果被积函数f(x)?c,(c为常数),则

?bacdx?c(b?a).

ba特别地,当c?1时,有?dx?b?a.

性质5.1.5（积分的保序性）如果在区间[a,b]上,恒有f(x)?g(x)，则

?baf(x)dx??g(x)dx.

ab性质5.1.6（积分估值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上有最大值M和最小

7

值m,则

m(b?a)??f(x)dx?M(b?a).

ab性质5.1.7 (积分中值定理) 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在(a,b)内至少有一点?,使得

?baf(x)dx?f(?)(b?a) ??(a,b).

证 因f(x)在[a,b]内连续，所以f(x)在[a,b]内有最大值M和最小值m， 由性质5.1.6知： m(b?a)??f(x)dx?M(b?a).

ab从而有 m?这就说：

b1f(x)dx?M. ?ab?ab1f(x)dx是介于m与M之间的一个实数. ?ab?a由连续函数的介值定理1.10知：至少存在一点??(a,b)，使得

b1f(x)dx?f(?).即

b?a?a?baf(x)dx?f(?)(b?a) ??(a,b).

y 注 性质5.1.7的几何意义是:由曲线

y?f(x),直线x?a,x?b和x轴所围成

y?f(x) f(?) o a ? b x 图5.5 曲边梯形的面积等于区间[a,b]上某个矩形 的面积,这个矩形的底是区间[a,b],矩形的 高为区间[a,b]内某一点?处的函数值f(?)， 如图5.5所示.

显然，由性质5.1.7可得f(?)?b1f(x)dx，f(?)称为函数f(x)在区间?ab?a[a,b]上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.

性质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设f(x)在对称区间[?a,a]上连续,则有

8