立体图形上最短距离问题

立体图形上最短距离问题

金水初中 刘彬

在北师大版数学的七年级和八年级的教材中都涉及到了物体在几何体表面爬行时的最短距离问题，这对于一些刚刚接触几何体的同学是个很难理解的问题。实际在数学上就是在几何体表面点到点的最短距离的问题。结合教学实际，我总结了教材和练习中最常见的几种最短距离问题，主要涉及到了正方体、长方体和圆柱，以及它们几种简单的变形，特总结如下，希望能对这方面的问题，帮助解决学生的困惑，能使学生掌握这方面的知识。

同一个面最短距离最简单，主要是连线，借助勾股定理来解决，在下面的介绍简单介绍，重点说不在同一个面的问题。这几个几何体中正方体最简单，下面先从正方体开始说起。 一、 正方体和长方体中最短距离

例1、 如图，一只蚂蚁在正方体表面爬行 （1）、当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬到顶点B，怎样爬距离最短？ 分析：由于顶点A和顶点B在同一个平面上，所以连接，利用勾股定理直接求解即可。

（2）如图，如果蚂蚁要从边长为1 cm的

正方体顶点A爬到顶点C，那么爬行的最段距离是多少？ 分析：由于顶点A和顶点C不在同一个平面上，所以要求最短距离需要将正方体展开，在展开的表面上利用勾股定理求出最短距离。 解：将正方体展开，下面是其四连面的一部分，这是A与C的位置如图所示，

1

BAC这时AC的长度就是长方形的对角线的长度。所以 AC的长

A度等于22?12=5 所以在正方体中求最短距离相对来说还是比较简单的。

（3）如果将正方体换成边长AD=2CM，宽DF=3cm，高AB=1cm的长方体，蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样的路线爬行距离最短？为什么？

分析：由于 长方体每边的长短不一样，所以在展开图中就有三种不同的形式，三种情况下结果就会不一样

解：方案一：将面ABCD沿DC展

CGDHBCFAE开和面CDEF在同一个平面中，如图,这时BE的长度为2+3=5，EF的长度为1，所以AE=

52?12A=

26

CDADFBCE方案二：将面ADCF沿DF展开和面CDEF在同一个平面，如图,这

G22所以AE=3?3=FE时AC=2+1=3，EF=3

18

2

方案三：将面ADFG沿FG展开 和面EFGH在同一个平面中，如图,这时DE=3+1=4,EH=2.所以 AE=

AGH42?22=

20。

综上，最短距离应该是第二种方案。

DFE小结：长方体中情况一般分三种情况来说明，实际就是长+宽为一边，高为一边；长+高为一边，宽为一边；宽+高为一边，长为一边三种情况，它的种种变化也是在这几个的基础上加以变形。下面我们看它的一种变形应用：

例2：长方体的长为15CM，宽为10CM，高为20CM，点B离点C 5CM,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

分析：本题和上面的一样，只是没有从A爬到长方体的一个顶点，但是做法一样的。所以本体也有三种做法。 解：如图（一）

CBCBAA

3

AB=

152?202?625?25

BC如图（二）AB=如图（三）

102?252?725

30?5?925

B22A图（二）

A图（三）

C

二、 圆柱体中最短距离

例3：如图，在圆柱中，底面周长为6CM，高为8CM从点A到点B的

最短距离是多少？

分析：由于也是在几何体表面求最短距离，

B所以也必须展开，而圆柱展开是个长方形，并且由于点A、B是相对位置，所以在展开的长方形中，长方形的长一边只是圆周长的一半。然后利用勾股定理求解即可。

A解：圆柱的侧面展开图如图所示：

BA AB=

4

32?82?8.5