dd05-春-07s-p07综合除法与余数定理

综合除法与余数定理

例题讲解

例1、计算?3x4?5x3?2x2?10x?6???x?1?。

例2、求多项式3x2?2x4?5x3?11除以x?2的商式和余数。

例3、用综合除法计算?6x4?5x3?2x2?2???2x?1?。

例4、试证明a3?b3?c3?3abc中含有因式a?b?c。

例5、（1）求x?1除f?x??7x5?4x4?3x2?5所得的余数。

（2）求2x?2除f?x??7x5?4x4?3x2?5所得的余数。

例6、证明：当a,b是不相等的常数时，若关于x的整式f?x?能被x?a,x?b整除，则f?x?也能被积?x?a??x?b?整除。

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第七讲 综合除法与余数定理

例7、多项式f?x?除以x?1,x?2所得的余数分别为3和5，求f?x?除以?x?1??x?2?所得的余式。

例8、已知关于x的三次多项式f?x?除以x2?1时，余式是2x?5；除以x2?4时，余式是

?3x?4，求这个三次多项式。

课堂练习

1、若f?x??2x3?3x2?ax?b除以?x?1?所得的余数为7，除以x?1所得的余数为5，试求a,b的值。

2、设f?x??x2?mx?n（m,n都是整数）既是多项式x4?6x2?25的因子，又是多项式

3x?4x?28x?5的因子，求f?x?。

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3、多项式f?x?除以x?1,x?2,x?3所得的余数分别为1，2，3，试求f?x?除以

?x?1??x?2??

x?3?所得的余式。

4、多项式f?x??ax3?bx2?8x?12被x?2和x?3整除，试求a,b的值，并求f?x?除以

?x?2??x?3?后所得的商式。

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第七讲 综合除法与余数定理

5、若x5?5qx?4r被?x?2?整除，求q与r的值。

6、一个整系数三次多项式f?x?，有三个不同的整式a1,a2,a3,使f?a1??f?a2??f?a3??1。又设b为不同于a1,a2,a3的任意整数，试证明：f?b??1。

7、设f?x??x4?x3?kx2?x?6能被x?1整除，求k的值和商式。

同步测试

1、求8x2?2x?x4?14除以x?1所得的商式及余式。

2、计算：?9x4?5x2y2?8y4?8xy3?18x3y???3x?2y?。

3333、计算：?8x?y?z?6xyz???2x?y?z?。

2

4、已知f?x??x3?2x2?3x?2除以整系数多项式g?x?所得的商式及余式均为h?x?。试求

g?x?和h?x?（其中h?x?不是常数）。

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第七讲 综合除法与余数定理

5、一个整系数的四次多项式f?x?,有四个不同的整数?1,?2,?3,?4可使f??1??f??2??

f??3??f??4??1，求证：任何整数?都不能使f?????1。

6、已知多项式f?x??x5?3x4?8x3?11x?k能被x?2整除，求k的值。

7、求证：a?b,b?c,c?a都是a2?b?c??b2?c?a??c2?a?b?的因式，并分解因式。

8、已知a,b,c,d是正整数，则x4a?x4b?1?x4c?2?x4d?3能被x3?x2?x?1整除。

9、求证：多项式f?x?除以?x?a??x?b?所得余式是

f?a??f?b?a?bx?af?b??bf?a?a?b?a?b?。

10、设a,b,c是三个不同的整数，f?x?为整系数多项式，求证：不可能同时有f?a??b,

f?b??c,f?c??a。

99998888777722221111987?x?x???x?x?1能被g?x??x?x?x??? 11、求证：f?x??x第 4 页 共 5 页

第七讲 综合除法与余数定理

x?x?1整除。

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12、用综合除法计算：??6x4?7x2?8x?9???2x?1?。

13、用综合除法计算：?27x3?9x3?5x?2???3x?2?。

14、设f?x??3x5?17x4?12x3?6x2?9x?8，求f???。

?3??1?

15、若f?x??x4?ax2?bx?2能被?x?1??x?2?整除，求a,b的值。

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第七讲 综合除法与余数定理