2015年湖南省怀化市中考数学试题及答案解析（word版）

点评： 本题主要考查了三角形外接圆的做法，含30°直角三角形的性质及弧长的计算，数形结合，掌握直角三角形的性质是解答此题的关键． 20．（8分）（2015?怀化）甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜． （1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况； （2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．

考点： 游戏公平性；列表法与树状图法． 专题： 计算题．

分析： （1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况即可；

（2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果． 解答： 解：（1）列表如下： 1 2 3

1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3）

所有等可能的情况有9种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），

则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1，2，3，2，4，6，3，6，9，共9种； （2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为： 其中积为奇数的情况有4种，偶数有5种， ∴P（甲）＜P（乙），

则该游戏对甲乙双方不公平．

点评： 此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

21．（8分）（2015?怀化）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE （1）求证：△ABC∽△CBD； （2）求证：直线DE是⊙O的切线．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）根据AC为⊙O的直径，得出△BCD为Rt△，通过已知条件证明△BCD∽△BAC即可； （2）连结DO，如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由∠BDC=90°，E为BC的中点得到DE=CE=BE，则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切．

解答： （1）证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠BDC=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠BDC， 又∵∠B=∠B， ∴△BCD∽△BAC； （2）连结DO，如图， ∵∠BDC=90°，E为BC的中点， ∴DE=CE=BE，

∴∠EDC=∠ECD， 又∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD，

而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°， ∴DE⊥OD， ∴DE与⊙O相切．

点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质．

22．（8分）（2015?怀化）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．

（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；

（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；

（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）

考点： 相似形综合题．

分析： （1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式求得PE=

，QE=

，根据勾股定理得到PQ=QE+PE，求出PQ=

2

2

2

，

t，当Q与B重合时，PQ

的值最大，于是得到当t=5时，PQ的最大值=3； （2）由三角形的面积公式即可求得；

（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况①当CQ=CP时，②当PQ=CQ时，③当PQ=PC时，列方程求解即可．

解答： 解：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ， ∵∠C=90°， ∴QE∥BC， ∴△ABC∽△AQE， ∴

，

∵AQ=2t，AP=t，

∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∴∴PE=

2

，

，QE=

2

2

，

∴PQ=QE+PE， ∴PQ=

t，

当Q与B重合时，PQ的值最大， ∴当t=5时，PQ的最大值=3

（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=S△AQP， 当Q在AB边上时，S=AP?QE=t?

=

，（0＜t≤5）

；

当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，

∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）?（16﹣2t）=﹣t+16t﹣40，（5＜t≤8）；

2