北京市高三数学一轮复习 专题突破训练 立体几何 理

则D?0,0,0?A?2,0,0?,E?0,0,2?,B?2,2,0?,F?2,0,2? z uEFuur??2,0,0?,uEBuur??2,2,?2?E

…………7分 F 设P?0,y,z?，则y?z

D 令rn??x?,y?,z??是平面BEF的一个法向量，

x A B 则?ruuur??n??rEFuur?0 ?n?Eb?0?x?所以??2x??0?2x??2y??2z??0，令y??1，得??0y?1所以r??n??0,1,1?? ?z??1因为AP与平面BEF所成的角等于30o，

r所以AP与n?(0,1,1)所成的角为60o或120o

u所以cos?uAPuur,rn??uAPuurrAPuur?n?rn?y?z4?y2?z2?2?12

所以y2?z2?4yz?4?0LLL(*)

又因为y?z，所以y?z或y??z 当y??z时，（*）式无解 当y?z时，解得：y?z??63

所以，P(0,63,63)或P(0,?663,?3). 10、

C y …………9分

………11分

………12分 ………13分

………14分 25

11、解：(Ⅰ)连接FN,在?PAC中，F,N分别为PA,PC中点，所以FN//AC,

因为FN?平面DEF,AC?平面DEF, 所以AC//平面DEF …………………4分

(Ⅱ)如图以D为原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系

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D?xyz. …………………5分

则P(0,0,2),B(1,1,0),C(0,2,0),所以uPBuur?(1,1,?2),uBCuur?(?1,1,0).

设平面PBC的法向量为umr?(x,y,z),则?uruuur??m?PB?(x,y,z)?(1,1,?2)?0?ur?uBCuur1,1,0)?0, ?m?(x,y,z)?(?即???x?y?2z?0?, 解得??x?x, ??x?y?0???z?2x?x?1令x?1，得 ?ur?y?1, 所以m?(1,1,2). …………………7分

??z?2因为平面ABC的法向量rn?(0,0,1),

所以cosrn,umrr?rn?umrn?u2mr?2， 由图可知二面角A?BC?P为锐二面角， 所以二面角A?BC?P的大小为?4. …………………9分 (Ⅲ) 设存在点Q满足条件.

由F(122,0,2),E(0,2,2). 设uFQuur??uFEuur(0???1)， 整理得 Q(1??2,2?,2(1??)2)，uBQuur?(?1??2,2??1,2(1??)2),…………………11分 因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为?6，

所以 sin?6?|cosuBQuur,umru|?|uBQuur?umr|5??1|BQuur?umr|?219?2?10??7?12， …………………13分 则?2?1,由0???1知??1，即Q点与E点重合.

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19故在线段EF上存在一点Q，且|FQ|?|EF|?2. …………………14分 12、（Ⅰ）证明：

在?PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，

所以EF//PC．

又因为EF?平面PAC，PC?平面PAC， 所以EF//平面PAC．……………..4分 （Ⅱ）证明：

因为底面ABCD是正方形，所以BC?AB．

又因为侧面PAB?底面ABCD，平面PABI平面ABCD=AB， 且BC?平面ABCD， 所以BC?平面PAB．

由于AE?平面PAB，所以BC?AE．

由已知PA?AB，点E是PB的中点，所以AE?PB． 又因为PBIBC=B，所以AE?平面PBC.

因为PF?平面PBC，所以AE?PF．……………..9分 （Ⅲ）点F为边BC上靠近B点的三等分点．

因为PA?AB，PB?2AB，所以PA?AB．

由（Ⅱ）可知，BC?平面PAB.又BC//AD, 所以AD?平面PAB，即AD?PA，AD?AB . z所以AD，AB，AP两两垂直．

分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴 P 建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设AB?2，BF?m，则

E A(0,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，

A B y E(0,1,1)，F(m,2,0).

F D C 于是uAEuur?(0,1,1)，uAFuur?(m,2,0).

x 设平面AEF的一个法向量为n?(p,q,r)，

uu由??ur?n??uAEuur?0, 得?q?r?0, ?n?AF?0,??mp?2q?0. 取p?2，则q??m，r?m， 得 n?(2,?m,m)．

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