材料力学重点公式复习

于直径为D的圆形截面，W面，Wzz??32D3d；对于内外径之比为a?D的环形截

??32D3(1?a4)。

若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。 3.2梁的正应力强度条件

Mmax????Wz梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为

?max? （3-19）

对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为

?lmax?Mmaxy1???t?Iz （3-20a） （3-20b）

12?ymax?Mmaxy2???c?Iz式中，???,???分别是材料的容许拉应力和容许压应力；y,y分别是

tc最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。 3.3梁的切应力

QSz???Izb （3-21）

?z式中，Q是横截面上的剪力；S是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；I是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是

z距中性轴为y处的横截面宽度。 3.3.1矩形截面梁

切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。

切应力计算公式

?6Q?h2??3??y2?bh?4? （3-22）

最大切应力发生在中性轴各点处，?3.3.2工字形截面梁

max?3Q2A。

切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。

?Q?Bb?h2222???H?h??y?2?4????Izb?8???切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为

(3-23)

?max近似计算腹板上的最大切应力：?下两翼缘内侧距 3.3.3圆形截面梁

F d为腹板宽度 h1为上

dhs1横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。 最大切应力发生在中性轴上，其大小为 （3-25）

圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。 3.4切应力强度条件

QmaxSz?max?????Izb?max?d22dQ??QSz?83??4Q ???d4Izb3A64?d

梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即

?max (3-26)

max?zmax式中，Q是梁上的最大切应力值；S是中性轴一侧面积对中

I是横截面对中性轴的惯性矩；性轴的静矩；b是?处截面的宽度。

zmax?发生在中性轴上，?不对于等宽度截面，对于宽度变化的截面，

maxmax一定发生在中性轴上。

4.2剪切的实用计算

名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为 ??Q （3-27） A剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力???,即 ??Q???? （3-28） A5.2挤压的实用计算

名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则 ?bs?Pbs???bs?Absbs

（3-29）

式中，A表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用

线平面上的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。

挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力 ?bs?P???bs?Abs （3-30）

1， 变形计算

圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l的两个横截面的相对扭转角为

???Tdx0GIPl (rad)

(4.4)

若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，上式化为

??TlGIP则

(rad) (4.5)

图4.2

式中GI称为圆轴的抗扭刚度。显然，

P?的正负号与扭矩正负

号相同。

公式（4.4）的适用条件：

（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即???；

P（2） 在长度l内，T、G、I均为常量。当以上参数沿

P轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得

Tl总扭转角。即 ???G (rad) (4.6) Iiii?1iPin当T、I沿轴线连续变化时,用式(4.4)计算?。

P2， 刚度条件

扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角?'max不得超过许可的单位长度扭转角??'?,即

?'max?Tmax???'? (rad/m) (4.7) GIPTmax180?式 ?'max?????'? （?/m） （4.8）

GIP?2，挠曲线的近似微分方程及其积分

在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系

1MEI??

1M?x?? ??x?EI对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得

利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即 ?''?将上式积分一次得转角方程为 ???'??M?x?dx?C （4.10）

EIM?x? （4.9） EI?M?x??dx?dx?Cx?D （4.11） 再积分得挠曲线方程 ??????EI?式中，C,D为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边

界条件外，还需要利用连续条件。 3，梁的刚度条件

限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即 ?max???? ，?max???? （4.12） 3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能