作业册2008(上5)

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作业28 定积分的几何应用

1． 求有下列各曲线所围成的平面图形的面积： （1）y?xex与y?ex；

?y?xex?x1?0?x2?1解：求交点? ??,?y?0y?ey?ex?1?2?e2ex1x作图知，S???ex?xe?dx?x?xe0????e?dx??1

20200x111（2）y??x3?x2?2x与y?0；

?y??x3?x2?2x解：求交点??x1?0,x2?2,x3??1

?y?0?x4x3x2?3232作图知 S???x?x?2x?dx????x?x?2x?dx?????

?432??1?10?xxx?1???????3

12?432?0（3）r?a(1?sin?)2?4322020(a?0)．

2?解：S??01a22?a(1?sin?)?d??222??(1?2sin??01?cos2?)d? 2a23sin2?3?(??2cos??)??a2 224202． 求a值，使抛物线y?x与直线x?a及x?a?1,y?0所围成的平面图形面积最小． 解：S?a??a?12?a132x2dx???a?1??a3?,S??a???a?1??a2?2a?1

?3?1?1?，而S??????2?0 2?2?12解得驻点a??从而S???为极小值，以实际意义及驻点的唯一性，该值也为最小值，故a??即为所要求的

?1??2?9

《高等数学》同步练习册

3． 求由下列各曲线所围成的平面图形绕指定的坐标轴旋转所得的立体的体积： (1）y?ex?1,x?ln3和y?0，绕x轴；

?y?ex?1?x1?ln3?y?ex?1?x2?0解：求交点?，? ,??,??y?2y?0?1?2?x?ln3?y?0作图知

?1?V????e?1?dx????e?2e?1?dx???e2x?2ex?x???ln3

?2?000x22xxln3ln3ln3（2）y?x2,x?2和y?0，绕y轴．

?y?x2?x1?2?y?x2?x2?0解：求交点?， ,??,????y1?4?y?0?y2?0?x?2作图知V???2?4??02???4?1?ydy?16????ydy?16????y2??8?

?2?002444．求摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)(a?0)的一拱0?t?2?与x轴所围成的平面图形绕y?2a旋转所得旋转体的体积． 解：作图知

2?aV???(2a)?2?a?2?2?0??2a?y?x??dx?8?a????a?acost?a(1?cost)dt232032?22??tsin2tsint?23?8?2a3??a3??1?cost?sin2tdt?8?2a3??a3?????7?a

43?0?20５． 求y?|lnx|在

1?x?e内一段弧的弧长． e解：当

11?x?1时y??lnx，当1?x?e时y?lnx，均有ds?1?2dx ex从而由

?11?x2?121?2dx?1?x?ln?c,x?tant（换元积分法得出）

xxees?

1/e?2e1?e2?e??11?x?11??1?2dx??1?x2?ln??1?e2?1???ln??xx?e?1?e2?1??1/e??10

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６．试证：双纽线r2?2a2cos2?(a?0)的全长可以表示为L?42a?10dx1?x4．

证：由对称性L?4L1,L1为第一象限的一段 在L1:r?2acos2?,0????4.r??2a?sin2?cos2?

ds?r2??r??2d??2acos2??sin22?d?cos2?d??2acos2? ?4?4L?4?2ad?2ad??442ad??4?0cos2???40cos2??sin2???0cos?1?tan2??42asec?d?01?tan2?令tan??x,??arctan?，则当??0时x?0，当???4时x?1，

?4?tan2?11因此L??42a?1a01?tan2?d??42?1?x2dx1?x21?x2?42a?dx 001?x4 11

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作业29 定积分的物理应用

1．已知弹簧的弹性恢复力与弹簧的伸长量成正比，某弹簧伸长量为0.5cm时，弹性恢复力为1N，如果把弹簧由原来长度拉伸6cm，需要做多少功？

解：设F?kx，由x?0.5（cm）时即x?0.005（m）时，F?1（N）得k?200

0.060.06w??0Fdx??0200xdx?100x20.060?0.36（J）

2．设一锥形蓄水池深15m、口径20m，盛满了水，今将水全部吸出，需做多少功？ 解：设水面圆半径为r，深度为h，则

15hr2h?,r? 15103W???r2?103g??15?h?dh?57697.5（KJ）

03．有一半径为R的半圆形闸门垂直放置，直边在上且与水面平齐，求闸门的一侧所

受的水压力．

解：设水面圆半径为r，离水面深度为x，则r?RRRR2?x2 F???gx?2rdx??g?2xR2?x2dx???g?R2?x2d?R2?x2?

000???g?22R?x?33R22??02?gR3 34．求函数y?a2?x2在[?a,a]上的平均值．

11?a2?a22解：y? a?xdx???2a?a2a2425．一物体以速度v?3t?2t(m/s)做直线运动，计算它在t?0秒到t?3秒一段时

a间内的平均速度．

311解：v???3t2?2t?dt??t3?t2??12(m/s)

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