余数问题教案2（教师版）

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余数是2：2、9、16、23、30 余数是3：3、10、17、24 余数是4：4、11、18、25 余数是5：5、12、19、26 余数是6：6、13、20、27

要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。

所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只取一个。 故最多可以取15个数。

【经典巡航10】下面是四个互相咬合着的齿轮，其中最大的那个齿轮通过顺时针旋

转可带动其他三个齿轮，各齿轮的齿数依次为16，12，10，6．如图所示，当最大的齿轮按照顺时针方向恰好旋转7

周时，各个齿轮上面箭头所指的四个汉字是

．

分析：首先我们来了解一互相咬合着的齿轮旋转的两个常识：

(1)相邻的两个齿轮旋转的方向相反．即：第一个齿轮顺时针旋转，那么第二个齿轮就逆时针旋转，第三个齿轮又顺时针旋转，第四个齿轮又逆时针旋转．

(2)每个齿轮转过的总齿数是相同的．第一齿轮按照顺时针方向旋转7周，箭头指的字还是“数”．第一个齿轮共转过了16×7=112(个)齿，112÷12=9??4，那么第二个齿轮逆时针旋转9周后又逆时针旋转过4个齿，所以箭头指的字是“学”．112÷10=11??2，那么第三个齿轮顺时针旋转11周后又顺时针旋转过2个齿，所以箭头指的字是“活”．112÷6=18??4。那么第四个齿轮逆时针旋转18周后又逆时针旋转过4个齿，所以箭头指的字是“动”．各个齿轮上面箭头所指的四个汉字是“数学活动”．

１３ 学生版 编辑：高仁江 2008-2009学年度第二学期五年级

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【经典巡航11】自然数

2?2?????2?...?2?1???67个2的个位数字是多少?

【分析与解】 我们先计算2?2????2?...?2的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果????67个2是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)

将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积． 有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；

2×2×2×2×2除以i0的余数为2,2?2???...?2除以10的余数为4,2?2???...?2除以??????6个27个210的余数为8,2?2???...?2除以10的余数为6；?? ?? ???8个2 也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．

因为67÷4=16??3，所以2??2?2...??2除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,?????67个2所以2??2?2...??2?1除以10的余数为7． ?????67个2 即2??2?2...??2?1的个位数字为7． ?????67个2评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环． 【经典巡航

12】算式7+7×7+?+

7?7???...?7???1990个7计算结果的末两位数字是多少?

【分析与解】 我们只用算出7+7×7+?+77?7???...?7的和除以100的余数,即为其末???1990个7两位数字．

7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；

而7?7???...?7除以100的余数等于7?7???...?7?7的余数,即为7,?? ??????5个74个7 这样我们就得到一个规律7?7???...?7除以100所得的余数,4个数一循环,依次为???n个77,49,43,1．

1990÷4=497??2,所以7+7×7+?+7×7×??7 ?7???...?7的和除以100的余数同余．???1990个7 497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．

所以算式7+7×7+?+7?7???...?7计算结果的末两位数字是56． ???1990个7【经典巡航13】

１４ 学生版 编辑：高仁江 2008-2009学年度第二学期五年级

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此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人??。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

【经典巡航

14】今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数

之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由5?7?35，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35?2?70是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

2?70?3?21?2?45?k[3,5,7]?233?k[3,5,7]，其中k是从1开始的自

然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算2?70?3?21?2?45?2?[3,5,7]?23得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128.

【经典巡航15】有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还

剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规

１５ 学生版 编辑：高仁江 2008-2009学年度第二学期五年级

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格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?

【分析与解】 设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包. 所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．

[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．

即原来一共有牙签5039根．

2008-2009学年度第二学期五年级 １６

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