南京德才教育2005-2016（高考真题）汇整（导数函数）纯Word呕心沥血整理

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（2）求函数f(x)的极值．

17．解：函数

af(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?1?．

x2(x?0)，?f(1)?1,f?(1)??1， x（Ⅰ）当a?2时，f(x)?x?2lnx，f?(x)?1??y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y?1??(x?1)，即x?y?2?0．

（Ⅱ）由f?(x)?1?ax?a?,x?0可知：①当a?0时，f?(x)?0，函数f(x)为(0,??)上的增函数，函xx数f(x)无极值；②当a?0时，由f?(x)?0，解得x?a；x?(0,a)时，f?(x)?0，x?(a,??)时，

f?(x)?0，?f(x)在x?a处取得极小值，且极小值为f(a)?a?alna，无极大值．综上：当a?0时，

函数f(x)无极值，当a?0时，函数f(x)在x?a处取得极小值a?alna，无极大值．

20．(2013福建理)（本小题满分14分）已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)的周期为?，图像的一

个对称中心为(?4?图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．

2（1）求函数f(x)与g(x)的解析式； （2）是否存在x0?(，在将所得,0)，将函数f(x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）

??,)，使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x064的个数；若不存在，说明理由．

（3）求实数a与正整数n，使得F(x)?f(x)?ag(x)在(0,n?)内恰有2013个零点．

20．解：（Ⅰ）由函数f(x)?sin(?x??)的周期为?，??0，得??2

又曲线y?f(x)的一个对称中心为(故f()?sin(2??4,0)，??(0,?)

??44??)?0，得???2，所以f(x)?cos2x

将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y?cosx的图象，再将y?cosx的图象向右平移

?个单位长度后得到函数g(x)?sinx 2（Ⅱ）当x?(??121，0?cos2x? ,)时，?sinx?22642第 26 页 共 115 页

所以sinx?cos2x?sinxcos2x

问题转化为方程2cos2x?sinx?sinxcos2x在(设G(x)?sinx?sinxcos2x?2cos2x，x?(??,)内是否有解 64??,) 64则G?(x)?cosx?cosxcos2x?2sin2x(2?sinx) 因为x?(??,)，所以G?(x)?0，G(x)在(,)内单调递增

6464??又G()???6?2??1?0且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在(,)内存在唯一?0，G()?42644

零点x0，即存在唯一的x0?(??,)满足题意

64（Ⅲ）依题意，F(x)?asinx?cos2x，令F(x)?asinx?cos2x?0

当sinx?0，即x?k?(k?Z)时，从而x?k?(k?Z)不是方程F(x)?0的解，所以方程F(x)?0cos2x?1，等价于关于x的方程a??cos2x，x?k?(k?Z) sinx现研究x?(0,?)U(?,2?)时方程解的情况 令h(x)??cos2x，x?(0,?)U(?,2?) sinx则问题转化为研究直线y?a与曲线y?h(x)在x?(0,?)U(?,2?)的交点情况

cosx(2sin2x?1)?3??h?(x)?，令，得或 x?x?h(x)?02sinx22当x变化时，h(x)和h?(x)变化情况如下表 x h?(x) (0,) 2?? Z ? 20 (,?) 2? ] ?(?,? ] 3?) 23? 20 ?1 (3?,2?) 2? Z h(x) 当x?0且x趋近于0时，h(x)趋向于?? 当x??且x趋近于?时，h(x)趋向于?? 当x??且x趋近于?时，h(x)趋向于?? 当x?2?且x趋近于2?时，h(x)趋向于??

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故当a?1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有无交点，在(?,2?)内有2个交点； 当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点，在(?,2?)内无交点； 当?1?a?1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,?)内有2个交点，在(?,2?)内有2个交点

由函数h(x)的周期性，可知当a??1时，直线y?a与曲线y?h(x)在(0,n?)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y?a与曲线y?h(x)在(0,n?)内恰有2013个交点；当a??1时，直线y?a与曲线

y?h(x)在(0,?)U(?,2?)内有3个交点，由周期性，2013?3?671，所以n?671?2?1342

综上，当a??1，n?1342时，函数F(x)?f(x)?ag(x)在(0,n?)内恰有2013个零点

22．（2013湖北理）（本小题满分13分）已知a?0，函数f(x)?x?a。

x?2a（I）记f(x)在区间?0,4?上的最大值为g(a),求g(a)的表达式；

（II）是否存在a，使函数y?f(x)在区间?0,4?内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。

3a?x?a?1-,当x??2a,或x?a时，是单调递增的。??x?2ax?2a22．解：a?0,f(x)??

?x?a3a??-1?,当?2a?x?a时，是单调递减的。?x?2a?x?2a(Ⅰ)由上知，当a?4时，f(x)在x?[0,4]上单调递减，其最大值为f(0)?-1? 当a?4时，f(x)在[0,a]上单调递减，在[a,4]上单调递增。3a1? 2a2令f(4)?1-3a1?f(0)?,解得：a?(1,4],即当a?(1,4]时，g(a)的最大值为f(0);4?2a23a?1-,当a?(0,1]时??4?2a当a?(0,1]时，g(a)的最大值为f(4),综上，g(a)??

1?,当a?(1,??)时??2（II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点P(x1,y1),Q(x2,y2)满足题目要求，则P,Q分别在两个图像上，且f'(x1)?f'(x2)??1。

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?3a?(x?2a)2,当x??2a,或x?a时???3af'(x)??,当?2a?x?a时,不妨设2?(x?2a)?0?a?4??3a?3a???1,x1?(0,a),x2?(a,8]?3a?(x1?2a)(x2?2a)

(x1?2a)2(x2?2a)22?3a?2ax?4a2?a3a?2ax2?4a2?0?2?0?x1x2?2a(x1?x2)?4a?3a?x1??? x2?2ax2?2a?a?x?82??0?3?2x2?4a?2x2?3?4a?2?4a?3?4a11?????1?x2?2a??2?4a?2x2??2a?3?4a?a?，且0?a?4?a?(0,)

32?a?x?8?2a?2x?16?2?4a?1622???所以，当a?(0,)时，函数y?f(x)在区间?0,4?内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直。

21. （2013年江西理）(本小题满分14分) 已知函数f(x)=a(1-2x-121)，a为常数且a>0. 2(1) 证明：函数f(x)的图像关于直线x=1对称； 2(2) 若x0满足f(f(x0))=x0，但f(x0)?x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点

x1,x2,试确定a的取值范围；

C?x3,0?，(3) 对于（2）中的x1,x2和a， 设x3为函数f?f?x??的最大值点，A?x1,f?f?x1???,B?x2,f?f?x2???,，

记△ABC的面积为S?a?，讨论S?a?的单调性. 21.（本大题满分14分）

（1）证明：因为f(?x)?a(1?2x),f(?x)?a(1?2x)，有f(?x)?f(?x)， 所以函数f(x)的图像关于直线x?121212121对称。 221x?,?1?4ax,2)?0，（2）解：当0?a?时，有f(f(x))??2 所以f(f(x))?x只有一个解x?0，又f(02??4a(1?x),x?1.2